k高考一轮考试数学：反函数

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1、个人收集整理仅供参考学习本文为自本人珍藏版权所有仅供参考2.5反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y=f（x）（x∈A）地值域为C，由这个函数中x、y地关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中地任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一地值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y地函数.这样地函数x=（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）地反函数，记作x=f－1（y）.b5E2RGbCAP在函数x=f－1（y）中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一

2、般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f－1（y）中地字母x、y，把它改写成y=f－1（x）.p1EanqFDPw2.互为反函数地两个函数y=f（x）与y=f－1（x）在同一直角坐标系中地图象关于直线y=x对称.3.求反函数地步骤：（1）解关于x地方程y=f（x），得到x=f－1（y）.（2）把第一步得到地式子中地x、y对换位置，得到y=f－1（x）.（3）求出并说明反函数地定义域〔即函数y=f（x）地值域〕.●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y=－（x≠－1）地反函

3、数是A.y=－－1（x≠0）B.y=－+1（x≠0）C.y=－x+1（x∈R）D.y=－x－1（x∈R）解析：y=－（x≠－1）x+1=－x=－1－.x、y交换位置，得y=－1－.答案：A2.函数y=log2（x+1）+1（x＞0）地反函数为A.y=2x－1－1（x＞1）B.y=2x－1+1（x＞1）C.y=2x+1－1（x＞0）D.y=2x+1+1（x＞0）解析：函数y=log2（x+1）+1（x＞0）地值域为{y

4、y＞1}，由y=log2（x+1）+1，解得x=2y－1－1.DXDiTa9E3

5、d∴函数y=log2（x+1）+1（x＞0）地反函数为y=2x－1－1（x＞1）.答案：A3.函数f（x）=－（x≥－）地反函数A.在［－，+∞）上为增函数B.在［－，+∞）上为减函数C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数9/9个人收集整理仅供参考学习解析：函数f（x）=－（x≥－）地值域为{y

6、y≤0}，而原函数在［－，+∞）上是减函数，所以它地反函数在（－∞，0］上也是减函数.RTCrpUDGiT答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f（x）=－x2（x∈（－∞，－2］）

7、地反函数f－1（x）=______________.5PCzVD7HxA解析：y=－x2（x≤－2），y≤－4.∴x=－.x、y互换，∴f－1（x）=－（x≤－4）.答案：－（x≤－4）5.若函数f（x）=，则f－1（）=___________.解法一：由f（x）=，得f－1（x）=.∴f－1（）==1.解法二：由=，解得x=1.∴f－1（）=1.答案：1评述：显然解法二更简便.●典例剖析【例1】设函数f（x）是函数g（x）=地反函数，则f（4－x2）地单调递增区间为A.［0，+∞）B.（－∞，0

8、］C.［0，2）D.（－2，0］解析：f（4－x2）=－log2（4－x2）.x∈（－2，0］时，4－x2单调递增；x∈［0，2）时，4－x2单调递减.jLBHrnAILg答案：C深化拓展1.若y=f（x）是［a，b］上地单调函数，则y=f（x）一定有反函数，且反函数地单调性与y=f（x）一致.xHAQX74J0X2.若y=f（x），x∈［a，b］（a＜b）是偶函数，则y=f（x）有反函数吗？（答案：无）【例2】求函数f（x）=地反函数.解：当x≤－1时，y=x2＋1≥2，且有x=－，此时反函数为

9、y=－（x≥2）.当x＞－1时，y=－x+1＜2，且有x=－y+1，此时反函数为y=－x+1（x＜2）.9/9个人收集整理仅供参考学习∴f（x）地反函数f－1（x）=评述：分段函数应在各自地条件下分别求反函数式及反函数地定义域，分段函数地反函数也是分段函数.【例3】已知函数f（x）是函数y=－1（x∈R）地反函数，函数g（x）地图象与函数y=地图象关于直线y=x－1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）.LDAYtRyKfE（1）求F（x）地解析式及定义域.（2）试问在函数F（x）地图象上是

10、否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由.Zzz6ZB2Ltk解：（1）由y=－1（x∈R），得10x=，x=lg.∴f（x）=lg（－1＜x＜1）.设P（x，y）是g（x）图象上地任意一点，则P关于直线y=x－1地对称点P′地坐标为（1+y，x－1）.由题设知点P′（1+y，x－1）在函数y=地图象上，∴x－1=.dvzfvkwMI1∴y=，即g（x）=（x≠－2）.∴F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定义域为{x