k5导数其应用(叶乐琴)

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1、个人收集整理仅供参考学习本文为自本人珍藏版权所有仅供参考导数及其应用乐清中学叶乐琴【知能目标】1.了解导数概念地某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线地斜率等）；掌握函数在一点处地导数地定义和导数地几何意义；理解导数地概念.b5E2RGbCAP2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、cosx、ex、ax、lnx、logax地导数；掌握两个函数和、差、积、商地求导法则和复合函数地求导法则，会求某些简单函数地导数.p1EanqFDPw3、理解可导函数地单调性与其导数地关系；了解可导函数在某点取得极值地必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题

2、(一般指单峰函数)地最大值和最小值.DXDiTa9E3d【综合脉络】1.知识网络导数地实际背景导数定义导数地几何意义导函数四则运算求导法则复合函数求导法则基本求导公式求简单函数地导数导数地应用求函数地最大(小)值求函数地极大(小)值判断函数地单调性2.考点综述有关导数地内容，在2000年开始地新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本地，以后逐渐加深，考查地基本原则是重点考查导数地概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格地逻辑证明.本部分地要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数地概念，求导地公式和求导法则；第二层次是导数地简单应用，包括求函数地极值、单调区间、

3、证明函数地增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数地单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛地实际意义，更体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题地方法，这类问题用传统教材是无法解决地.RTCrpUDGiT【例题探究】例1(2003年烟台统考)已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a地取值范围是.5PCzVD7HxA12/12个人收集整理仅供参考学习【考查目地】考查导数地运算及利用导数知识求函数地极值等基本知识和分析问

4、题、解决问题地能力.解：∵f′(x)=3x2+6ax+3a+6，令f′(x)=0，则x2+2ax+a+2=0又∵f(x)既有极大值又有极小值∴f′(x)=0必有两解，即△=4a2-4a-8＞0解得a＜-1或a＞2.探究：本题通过求函数地导数，将函数问题转化为一元二次方程来探究，充分体现了函数与方程相互转化地解题思想与解题策略.jLBHrnAILg【启迪迁移】已知f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1，试讨论函数y=f(x)地单调性提示：按分△＞O，△=O，△

5、象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-.xHAQX74J0X(1)求a、b、c、d地值；(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点地切线互相垂直？试证明你地结论；(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：

6、f(x1)-f(x2)

7、≤.【考查目地】本题主要考查导数地几何意义、导数地基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力.解(1)∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=-f(x).∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx.∴f′(x

8、)=3ax2+c.∵x=1时,f(x)取极小值-.∴f′(1)=0且f(1)=-,即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样地两点使结论成立，假设图象上存在两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点地切线互相垂直，则由f′(x)=x2-1，知两点处地切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,且(x12-1)(x22-1)=-1.(*)∵x1、x2∈[-1,1],∴x12-1≤0，x22-1≤0∴(x12-1)(x22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.(3)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(

9、x)=0,得x=±1.当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0;当x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)=,fmin(x)=f(1)=-.LDAYtRyKfE∴在[-1,1]上，

10、f(x)

11、≤.于是x1,x2∈[-1,1]时，

12、f(x1)-f(x2)

13、≤

14、f(x1)

15、+

16、f(x2)

17、≤+=.故x1,x2∈[-1,1]时,

18、f(x1)-f(x2)

19、≤.12/12个人收集整理仅供参考学习探究：①若x0点是y=f(x)地极值点，则f′(