高中数学（北京师范大学版）必修五教案：11拓展资料：用函数观点看数列问题

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1、数学备课大师www.eywedu.net【全免费】www.ks5u.com用函数观点看数列问题　　新教材将数列安排在函数之后学习，强调了数列与函数知识的密切联系．从函数的观点出发，变动地、直观地研究数列的一些问题，一方面有利于认识数列的本质，另一方面有利于加深对函数概念的理解．本文拟用函数的观点来认识一些数列问题．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1数列的本质　　数列可看作一个定义域为N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，用图象表示是一群孤立的点．例如，对于公差不为零的等差数列{an}来说，它的通项是关于n的一次

2、函数，从图象上看，表示这个数列各点均匀地分布在一次函数y=ax+b(a≠0)的图象上；它的前n项和Sn是关于n的无常数项的二次函数，因此Sn/n也是关于n的一次函数．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。式是________．　　考虑到an是关于n的一次函数，故pn＋q与(n－1)或(2n－1)是同类因式．　　由待定系数法知：p＋q=0(舍去)或p＋2q=0．例2等差数列{an}中，ap=q，aq=p(p≠q)求ap+q．解由于等差数列的通项an是关于n的一次函数，故三点(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap＋q)共线．http:

3、//www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】解由题设知：公差a≠0．例4已知｛an｝是等差数列．(1)2a5=a3＋a7是否成立？2a5=a1＋a9是否成立？(2)2an=an-2＋an+2(n＞2)是否成立？2an=an-k＋an+k(n＞k＞0)是否成立？残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(新教材第一册(上)第119页习题10)解表示数列{an}的各点，均匀地分布在一条直线上．不妨设公差d＞0．(1)如图1，画出点(3，a3)，(5

4、，a5)，(7，a7)．　　由中位线定理得2a5=a3＋a7．　　如图2，画出点(1，a1)，(5，a5)，(9，a9)．　　作辅助线AC，同样有2a5=a1＋a9．故(1)中两式全成立．(2)画出图3，图4．　　类似(1)，有2an=an-2＋an+2(n＞2)，2an=an-k＋an+k(n＞k＞0)．故(2)中两式全成立．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】说明在例4中运用图象直

5、观地刻划了等差数列的有关性质，同样还可直观地刻划等差数列的其它性质，如(i)an=am＋(n－m)d(m，n，∈N*)；(ii)若m＋n=p＋q，则am＋an=ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．2数列的单调性　　在数列｛an｝中，如果an＜an+1对n∈N*都成立，那么称{an}是单调递增数列；如果an＞an+1对n∈N*都成立，那么称{an}是单调递减数列．数列的单调性可以用函数的单调性来刻划．例如，公差不为零的等差数列的单调性与一次函数的单调性相同；公比大于零且不等于1的等比数列的单调性与指数型函数y=kax

6、(a＞0且a≠1)的单调性相同．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例5已知数列的通项公式为an=n2－10n＋10．这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解表示数列{an}的各点都在函数y=x2－10x＋10的图象上．　　由图5可得，这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大，从第9项起各项的数值均为正值，第9项是与首项相同的项．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/

7、数学备课大师www.eywedu.net【全免费】说明以函数的观点认识、理解数列，才能自觉地用函数的单调性去研究数列的单调性．∴数列{an}为递减数列，∴数列｛an｝中的最大项为　　即log(a－1)a－2loga(a－1)＞1成立．　　解此不等式可得3数列的最值　　运用函数观点求数列的最值，可以更深刻地认识数列的本质，同时又能深化对函数概念的理解．例7若数列{an}的通项公式为an=－n2＋7n(n∈N*)，求an的最大值，并与函数y=－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。解作出函数y=－x

8、2＋7x(x∈R)的图象．　　从图象上看，表示数列{an}的各点都在抛物线y=－x2＋7x(x∈R)上，由图象得http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】说明经比较发现数列{an}与函数y=－x2＋7x(x∈R)在不同的地方取到不同的最大值，这是由于两者的