高中数学四数系的扩充数系的扩充典型例题解素材北京师范大学版选修

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1、“数系的扩充”例题精析例1实数m分别取什么数时，复数z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x+y+4=0上；⑥共轭复数的虚部为12.分析:本题是一道考查复数概念的题目.解题的关键是把复数化成z=a+bi(a、b∈R)的形式，然后根据复数的分类标准对其实部与虚部进行讨论，由其满足的条件进行解题.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解:z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i=(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i.∵m∈R,∴z的实部为m2+5m+6,虚部为

2、m2－2m－15.①要使z为实数，必有∴m=5或m=－3.②要使z为虚数，必有m2－2m－15≠0,∴m≠5且m≠－3.③要使z为纯虚数，必有即∴m=－2.④要使z对应的点在第三象限，必有∴－3

3、本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件.方法是按照题设条件把复数整理成z=a+bi(a、b∈R3)的形式，明确复数的实部与虚部，由复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，列出方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)达到解决问题之目的.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例2已知复数z1满足(z1－2)i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求复数z2.分析:本题考查复数的基本概念和基本运算，属“较易”的试题.解题的关键是根据复数相等的充要条件或实部与虚部满足的条件，求得复数的实

4、部和虚部.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解:由(z1－2)i=1+i,得z1=+2=(1+i)(－i)+2=3－i.∵z2的虚部为2，∴可设z2=a+2i(a∈R),z1·z2=(3－i)(a+2i)=(3a+2)+(6－a)i为实数，∴6－a=0,即a=6.因此z2=6+2i.评注:掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的基础，也是重点，要牢记复数的四种运算法则.例3复平面内点A对应的复数是1,过点A作虚轴的平行线l,设l上的点对应的复数为z,求所对应的点的轨迹.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在

5、复平面内点A的坐标为(1,0),l过点A且平行于虚轴,所以直线l上的点对应的复数z的实部为1,可设为z=1+bi(b∈R),然后再求所对应的点的集合.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。解:如图.因为点A对应的复数为1,直线l过点A且平行于虚轴,所以可设直线l上的点对应的复数为z=1+bi(b∈R).厦礴恳蹒骈時盡继價骚。因此.设=x+yi(x、y∈R),于是x+yi=i.3根据复数相等的条件,有消去b,有x2+y2====x.所以x2+y2=x(x≠0),即(x－)2+y2=(x≠0).所以所对应的点的集合是以(,0)为圆心,为半径的圆

6、,但不包括原点O(0,0).评注:一般说来,求哪个动点的轨迹方程就设哪个动点的坐标为(x,y).所谓动点的轨迹方程就是动点坐标(x,y)所满足的等量关系.常见求曲线方程的方法有:轨迹法、待定系数法、代入法、参数法等.若把参数方程中的参数消去,就可把参数方程转化成普通方程.无论用什么方法求得曲线的方程,都要注意检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上.对此,常从以下两个方面入手:一是看对方程的化简是否采用了非同解变形的手法;二是看是否符合题目的实际意义.其中,用参数法求得的曲线方程中的x、y的范围可由参数函数的值域来确定.茕桢广

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