高中数学四数系的扩充复数的概念要点解读素材北京师范大学版选修

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1、复数的概念要点解读一、复数的基本概念：为了解决有解这一问题，引进了新数i；1）虚数单位：i叫做虚数单位，并规定：①它的平方等于-1，即；②和无理数相似，虚数单位i可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加，乘运算律仍然成立。规定：，这时任何一个实数a都可以写成的形式。2）复数：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数（）a和b分别叫做复数z的实部和虚部，分别用Rez（Real）和Imz（Imaginary）表示。全体复数所成的集合称为复数集一般用字母C表示（Complexnumbers）。当b=0时，就是实数；当b≠0时叫虚数；当a=0，b≠0时

2、，叫做纯虚数。引入新数i（虚数单位）后，我们将数系由实数集扩充到了复数集，从而完成了数系的最后一次扩展。二、几个基本要点1、正确认识复数的实部与虚部对于复数，实部是，虚部是．注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2、关于复数能否比较大小分析教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成

3、立，那么．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。3②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)3、在讲复数集与复平面内所有点所成的集合对应时注意事项①任何

4、一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对()叫做复数的．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。②复数用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于=0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚

5、数．但当时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．4、正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：注意分清复数分类中的界限：3①设，则为实数②为虚数③且．④为纯虚数且5、关于共轭复数的概念设，则，即与

6、的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）．教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当时，与互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。3