高中数学北京师范大学版选修教案：教材解读：综合法与分析法

《高中数学北京师范大学版选修教案：教材解读：综合法与分析法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学备课大师www.eywedu.net【全免费】www.ks5u.com《综合法与分析法》教材解读一、重点知识梳理1、综合法是把整个不等式看成一个整体，从某一个或几个不等式出发经过变形、运算推导出欲证的不等式。综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法，其简捷之处就再于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题。当然，要想运用定理、不等式，必须具备相应的条件，另外，在证题的过程中，要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析，制定出合理的解题策略，并加以实施。常用的关系有：①若ab＞0，则＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”号)；②若t＞0，则t＋≥2(当且仅当t＝1时取“＝”号)

2、；若t＜0，则t＋≤－2(当且仅当t＝－1时取“＝”号)；③若a，b∈R，则ab≤()2≤矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2、分析法实质上是从欲证的不等式出发，去寻找使之成立的充分条件。在证明的过程中，要保证变形的每一步都是可逆的，即分析得到的每一步都是上一步成立的充分条件。分析法是证明不等式的一种常用的方法，通常情况下，当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时，可以采用这一方法。这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法。综合法与分析法是对应统一的，证题时常将两种方法交替使用。在证明不等式时，对于复杂的不等式，直接

3、运用综合法证明往往难以确定解决问题的策略，通常要分析、探索证题途径，然后再运用综合法加以证明，即用分析法探路，用综合法叙述。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。综合法和分析法的推证过程如下：结论综合法——已知条件结论分析法——已知条件http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】二、疑、难点解析这部分的难点是分析法证明过程的书写以及两种方法在证题中选择和使用。例1、设a，b，c均为正数，且a＋b＋c≤3，求证：＋＋≥.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。证明：注意到上述不等式当a＝b＝c＝1时取等号，由二元均值不等式可

4、得：＋≥2＝1，同理＋≥1，＋≥1，彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。三式累加，得＋＋＋≥3，謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。∴＋＋≥3－，厦礴恳蹒骈時盡继價骚。∵a＋b＋c≤3，－(a＋b＋c)≥－3，∴＋＋≥.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。点评：由于本题所证不等式为轮换对称式(交换任意两个字母不等式不发生改变)，具有这种规律的不等式常常采用综合法证明.本题证明中涉及到了三个不等式相加，这种方法称为累加法，是证明不等式的一种基本而又重要的方法，在使用这一方法时，如能根据所证不等式取等号的条件，灵活应用平均值不等式，往往能直接推得所需结论.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。注意：（1）综合法是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，

5、逐步推向“未知”。（2）①几个同向不等式相加或相乘；②条件不等式的证明，要适当运用条件；③积累和熟练运用常用不等式，并特别注意不等式成立的条件信取得等号的条件。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。例2、已知a>b>0，求证：。证明：要证原不等式，只要证，http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】即证，只要证，只要证，即要证，即。因为a>b>0，所以成立，故原不等式成立。点评：以上证明过程是典型的分析法。分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路；而综合法条理清晰、宜于表述。因此，在实际解题时，通常以分析

6、法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程。本题用综合法证明略。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。注意:(1)分析法是“执果索因”，即从“未知”看“需知”再逐步靠近“已知”，其证题的方向是“逆求”(而不是逆推),步步寻求上一步成立的充分条件而非充要条件。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。(2)分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式如下：“要证……成立，只需证……成立，即证……成立，也就是证……成立，而……显然成立，故原不等式……成立”。同时要注意在用分析法证题时一定要使用必要的关联词。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。（3）对于无理式、对数式、分式不等式的证明常用分析法证明。在证明过程中，常用到两过平方、配方，对数

7、运算，两边同乘以或除以某一式子的技巧，但在这种变形过程中必须注意恒等变形。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/