西安工业大学高数期末考试题附标准答案试题

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1、高等数学（Ⅱ）期末参考答案一、填空题（每小题3分，共36分）1.1.2.函数由方程确定，则.3.设函数，则它在点处的方向导数的最大值为.4.设函数在点处取得极值，则常数.5.空间曲线在点处的切线方程为.6.改变积分次序：.7.设平面曲线为下半圆周，则.8.设为曲面在的部分，则.9.设则其以为周期的傅里叶级数在处收敛于.10.设是微分方程的三个不同的解，且常数，则微分方程的通解为.11.函数展开为的幂级数的形式为.12.微分方程的通解为.二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设，，其中均为一阶可微函数，求.解：2.求曲面与平面所围

2、立体的体积.解：所围立体在面的投影域，所围立体的体积3.在曲面上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为，令，则切平面的法向量,已知平面的法向量依题意，即代入曲面方程中解的，即切点坐标为.三、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，求曲面积分.解：已知，，，由高斯公式有2.写出级数的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和.解：该数项级数的通项为；级数为正项级数，由于，由比值审敛法知该级数收敛.令，则，于是，又，所以，于是.3.求

3、微分方程的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程的特征根为，的为特征方程的单根，则原方程的特解为，代入原方程中得,齐次线性微分方程的通解为,所以原方程的通解为矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。.四、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.求函数的极值.解：由于，，令得驻点又，，，及，则点位极大值点，极大值为.2.求幂级数的收敛半径及收敛域.解：令，则，由于，则收敛半径.又当时，级数收敛，当时，级数发散，所以，即级数的收敛域为.3.设，其中具有二阶偏导数，求.解：，五、（本题5分）求函数在椭圆域上的最大值和最小值.解：由于，，令在内求得

4、驻点.在的边界上，设，得当，由（1）得，代入（2）得，在代入（3）得；同理当得；由于，，，所以最大值为，最小值为.六、（本题5分）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有，证明对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。解：由格林公式，对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，.（*）由于函数具有连续偏导数，且对任意的都有，即上式两端对求导有特取得由（*）式既有