连续介质力学几个定律汇总情况

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1、实用标准第二章连续介质力学的基本定律在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。2.1应力矢量与应力张量在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另

2、一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之对应的接触面S上的单位法矢量n，表面力的存在形式为(2.101)通常，我们规定指向接触面S的外法向时为正，反之为负(见图2.1).现在不管在X和S面与S'面的曲率相差多少。为了研究物体内部的力学状态，我们把

3、一物体用一假想平面S截断成两部分A和B，如图2.3所示。此时S面就是A和B相互作用的接触面，B部分对A部分一点的作用，便可以用A部分截面上的表面力来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A部分对B部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量。它与作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即(2.102)对于物体内部的一点P，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P的附近任意给定一个单位

4、法矢量为(2.103)的平截面。相应地，过P点沿活动标架作三个坐标平面。于是它们在物体内截得一个微小四面体，如图2.4所示。在这个微小四面体的每一个面上，都受有物体的其余部分给它的作用力，不妨设在ABC上受到的作用力为，在PBC，PCA与PAB上的作用力分别为、与，其中与分别为各微小平面的面积，作用于微小四面体ABCP上单位质量的体力为b。文档实用标准现在假设对物体的任何部分，特别是对微小四面体ABCP而言，动量的变化率与作用的合力成正比。虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(因为牛顿第二定律只适用于整个物体)，

5、然而，它却不能用实验直接验证，因为不可能做内部表面接触力的直接测定，这种力的存在与大小只能由其它量的观测推知。描述一点是应力张量，描述通过一点的某一截面是应力矢量。对于微小四面体ABCP，柯西定律给出(2.104)其中为物体的密度，为P点到ABC面的距离，并且考虑到微小四面体的体积.(2.105)2.104式也可写成(2.106)当微小四面体体积趋于零时，即，，则有(2.107)考虑到2.103式，并令(2.108)则式2.107可写成(2.109)当T对称时，则(2.110)其中(2.111)称为应力张量，其矩阵形式

6、为文档实用标准(2.112)如果物体中一点处的应力张量已知，那么由式2.112可以得到通过该点的任何截面上的应力矢量，因此应力张量完全地刻画了物体中一点的应力状态。由面上的应力矢量的定义可知，，而由式2.108知，因此式2.109变为(2.113)上式就是柯西假设的具体形式，常称之为柯西基本定理。下面我们研究应力张量T的各分量的力学意义。考虑到故知，代表作用于方向截面上的应力矢量在方向上的分量，如图2.5所示。我们从图2.5看到，应力张量的对角线元素位于所作用平面的法线方向内，故称之为法向应力分量；应力张量的非对角线元

7、素位于所作用的平面内，故称为剪切应力分量。2.2质量守恒定律物质无论经过怎样形式运动，其总质量是不变的，这就是古典连续介质力学中的最重要规律之一—质量守恒定律。下面我们研究质量守恒定律的数学表达式。设为物体的密度，表示物质点的体积，由于在运动过程中质量保持不变，所以(2.201)展开有(2.202)又由式(2.203)于是式2.202可写成(2.204)其不变性形式为文档实用标准(2.205)其中(2.206)把上式代入式2.204，则得(2.207)其不变性形式为(2.208)式2.205和式2.208就是质量守恒定

8、律的数学表达式质量守恒方程，在连续介质力学中常称为连续性方程。在正交曲线坐标系中，利用式:，连续性方程可写为(2.209)在直角坐标系中，连续性方程为(2.210)在柱面坐标系中，利用第第一部分二章式2.13.03，连续性方程为(2.211)在球面坐标系中，利用第一部分二章式式2.13.04，连续性方程为(2.212)连续性方程也