苏教版数学选修：空间向量与立体几何末总结时作业附标准答案

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1、数学备课大师www.eywedu.net【全免费】www.ks5u.com章末总结知识点一　空间向量的计算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。例1沿着正四面体O-ABC的三条棱、、的方向有大小等于1、2和3的三个力f1，f2，f3.试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。知识点二　证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直

2、问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。例2http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.例3如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.试确定m使得直线AP与平面

3、BDD1B1所成的角为60°.例4正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】知识点三　空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量

4、法极大的优越性．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。例5如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。（1）求cos〈，〉；厦礴恳蹒骈時盡继價骚。(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．知识点四　空间向量与空间距离近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．茕桢广

5、鳓鯡选块网羈泪。例6如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求二面角P—CD—B的大小；(2)求证：平面MND⊥平面PCD；(3)求点P到平面MND的距离．章末总结http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】重点解读例1解如图所示，用a，b，c分别代表棱、、上的三个单位向量，鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。则f1＝a，f2＝2b，f3＝3c，则f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c，∴

6、f

7、2＝(a＋2

8、b＋3c)(a＋2b＋3c)＝

9、a

10、2＋4

11、b

12、2＋9

13、c

14、2＋4a·b＋6a·c＋12b·c＝14＋4cos60°＋6cos60°＋12cos60°＝14＋2＋3＋6＝25，∴

15、f

16、＝5，即所求合力的大小为5.且cos〈f，a〉＝＝籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。＝＝，同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。例2证明(1)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，＝－，＝－，渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。又∵＝，＝，铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。∴＝.∴BD∥B1D1.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。同理可证A1B∥D1C，又BD∩A1B＝B，B1D1∩D1

17、C＝D1，所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)＝＋＋贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。＝＋＋(＋)坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。＝＋＋(－＋)蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。＝＋＋.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。设＝a，＝b，＝c，綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。http://www.xiexingcun.com/http://www.eywedu.net/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】则＝(a＋b＋c)．又＝－＝b－a，驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。∴·＝(a＋b＋c)(b－a)猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。＝(b2－a2＋c·b－c·a)．又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c·b＝0，c

18、·a＝0.又

19、b

20、＝

21、a

22、，∴b2＝a2，∴b2－a2＝0.∴·＝0，∴MN⊥BD.锹籁饗迳琐