林寿数学史教师教学案：分析时代：世纪的数学

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1、第七讲：分析时代：18世纪的数学18世纪是数学中的分析时代，近代数学向现代数学过渡的重要时期.1、微积分的发展1.1泰勒（英，1685－1731年）1714年获法学博士，1712年被选为英国皇家学会会员，1714－1718年英国皇家学会秘书，1715年出版《正和反的增量法》，陈述了泰勒公式.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。1.2麦克劳林（英，1698－1746年）英国皇家学会会员，18世纪英国最具有影响的数学家之一，1742年撰写的《流数论》，内有著名的麦克劳林级数，为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1.3斯特林（英，1692－1770年）英国皇家

2、学会会员，1730年在《微分法兼论无穷级数的求和与插值》中就得到了麦克劳林定理、近似积分公式——辛普森公式、斯特林公式.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。1.4棣莫弗（法，1667－1754年）英国皇家学会会员，1730年《分析杂论》中首先给出了斯特林公式，建立欧拉－棣莫弗定理，1718年出版的《机会的学说》成为概率论的奠基人.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。由于牛顿和莱布尼茨发明微积分优先权争论，英国数学家的工作逐渐淡出人们的视野.1.5雅格布•伯努利（瑞士，1654－1705年）1687－1705年巴塞尔大学数学教授，17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人，1694年出版《

3、微分学方法，论反切线法》.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。1.6约翰•伯努利（瑞士，1667－1748年）1705－1748年任巴塞尔大学数学教授，18世纪初分析学的重要奠基者之一，1742年的《积分学教程》，成为当时数学界最有影响的人物之一.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。1.7丹尼尔•伯努利（瑞，1700－1782年）在圣彼得堡工作8年（1725—1733年），1733年回到巴塞尔大学，1738年出版《流体动力学》，第一个把牛顿和莱布尼茨的微积分思想连接起来的人.4厦礴恳蹒骈時盡继價骚。1.8欧拉（瑞士，1707－1783年）18世纪最伟大的数学家、分析的化身，“数学家之英雄”

4、，公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一，发表著作与论文有560余种，留下大量的手稿.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。13岁进入巴塞尔大学，工作于圣彼得堡科学院（1727－1741年，1766－1783年）和柏林科学院（1741－1766年）.1748年《无穷小分析引论》，1755年《微分学原理》，1768－1770年《积分学原理》（3卷）成为分析的百年传世经典之作.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。背景：法国启蒙运动与“百科全书派”.1.9达朗贝尔（法，1717－1783年）1741年进入巴黎科学院，1754年为终身院士，1772年被选为终身秘书.数学分析的重要开拓者之一，在《百

5、科全书》中的撰写大量条目.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。1.10拉格朗日（法，1736－1813年）分析学中仅次于欧位的最大开拓者.都灵时期：1754－1766年；柏林时期：1766－1787年，《分析力学》；巴黎时期：1787－1813年，《解析函数论》.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。背景：法国大革命.1.11伯克莱（爱尔兰，1685－1753年）1734年《分析学家，或致一位不信神的数学家》，对微积分学说的攻击揭露了早期微积分的逻辑缺陷，刺激了数学家们为建立微积分的严格基础而努力.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。2、数学新分支的形成一系列新的数学分支在18世纪成长起来.在此介绍与微积

6、分密切相关的常微分方程、偏微分方程、变分法三个分支的形成.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。2.1常微分方程1690年雅格布•伯努利（瑞，1654－1705年）提出悬链线问题.莱布尼茨、惠更斯（荷，1629－1695年）、约翰•伯努利给出问题的解.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。4常微分方程的形成和发展是与力学、天文学、物理学及其他自然科学技术的发展互相促进和互相推动的结果.2.2偏微分方程达朗贝尔（法，1717－1783年）1747年发表的《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》看作为偏微分方程论的发端.偏微分方程研究一个方程（组）是否有满足某些补充条件的解，有多少个解，解的各种性质与求

7、解方法，及其应用.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。一阶偏微分方程的解法.2.3变分法起源于1696年约翰•伯努利（瑞，1667－1748年）提出最速降线问题.牛顿、莱布尼茨、洛比达、约翰•伯努利、雅各布•伯努利等解决.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。早期变分法三大问题：最速降线问题、等周问题、测地线问题.1744年欧拉发表《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》标志着变分学的诞生.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。3、18世纪的中国数学背景：彼得大帝（1672－1725年）、路易十四（1638－1715年）、康熙帝（1654－1722年）.“康乾盛世”（1661－1795年）.買鲷鴯譖昙膚遙

8、闫撷凄。3.1梅文鼎（清