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《数列通项公式的求法第二计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、每周一计第二计——由递推关系求数列通项公式给定初始条件和递推关系是确定数列的一种方法，这类问题是近年来高考中的重点、热点问题。1.形如an+1-an=f(n)型（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d.（2）若f(n)为n的函数时，用迭加法.例1.已知数列{an}满足,证明证明：由已知得：an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+···+(a2-a1)+a1=.练一练1：已知数列{an}满足，，求此数列的通项公式.2.形如型(答案：)（1）当f(n)为常数，即：（q≠0），此
2、时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例2.设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=________.解：已知等式可化为：(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0()(n+1),即时，==.评注：本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an.练一练2:已知an+1=nan+n-1，a1>-1,求数列{an}的通项公式.(-1.)3.形如an+1=can+d(c
3、≠0且c≠1,d≠0其中a1=a)型用待定系数法构造辅助数列.规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式例3．已知数列{an}中，求通项.4分析：两边直接加上,构造新的等比数列。解：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即.4．形如an+1=pan+f(n)型(1)若(其中k,b是常数，且)用构造法例4．在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n求通项an.解：设an+1+p(n+1)+d=3(an+pn+d)则an+1=3an+2pn+2d-pan+1=3an+2n∴2p=22d-p=0则p=1,d=令cn=an+n+则
4、cn+1=3cn，{cn}是等比数列，公比为3∵c1=则∴练一练3：在数列{an}中，,2an-an-1=6n-3求通项an.(.)(2)若f(n)=qn(其中q是常数，p≠1且n≠0,1)方法（i）.两边同除以pn+1.即：,令，则,变型为类型1，累加求通项.（ii）.两边同除以qn+1.即：,令,则可化为.然后转化为类型3来解，(iii).待定系数法：设an+1+λqn+1=p(an+λqn).则an+1=pan+λ(p-q)qn)，，令则cn+1=pcn{cn}是等比数列，可求{cn}通项。例5.设a0为常数，且an=3n-1-2an-1．求通项an.解：设
5、an+λ·3n=-2(an-1+λ·3n-1),即:an=-2an-1-5λ·3n-1,比较系数得：,所以所以,所以数列是公比为－2，首项为的等比数列.即.5、形如（）型取倒数法例6.已知数列{an}中，a1=2，，求通项公式an。4解：取倒数：6、形如f(Sn,n)=0型可利用公式：直接求出通项（别忘了讨论n=1的情况！）例7：已知数列{an}的前n项和为①Sn=2n2-n②Sn=n2+n+1，分别求数列{an}的通项公式。解析：①当n=1时，a1=S1=1当n≥2时，an=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3经检验n=1时，a1=1也适合∴an=4
6、n-3②当n=1时，a1=S1=3当n≥2时，an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n经检验n=1时，a1=3不适合∴7、形如f(Sn,Sn+1)=0型方法（i）.看成{Sn}的递推公式，求Sn的通项公式，再转化成类型1-5（ii）.利用an=Sn-Sn-1转化成关于an和an-1的关系式再求。例8．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式3tSn-(2t+3)Sn-1=3t（t为常数且t>0，n=2,3,4…）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1，，求bn解析：（1）由，
7、，得,∴，又，得，得∴是一个首项为1，公比为的等比数列。（2）由，有∴是一个首项为1，公差为的等差数列，∴。8、形如f(Sn,an)=0型利用an=Sn-Sn-1转化为g(an,an-1)=0型或h(Sn,Sn-1)=0型4例9.数列{an}的前n项和记为Sn，已知证明：数列是等比数列.方法（1）∵∴整理得所以，故是以2为公比的等比数列.方法（2）：事实上，我们也可以转化为，为一个商型的递推关系，由=得，下面易求证。4
