抽样调查教师教学案分层随机抽样法

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1、第3章分层随机抽样在前面一章，我们介绍了简单随机抽样。应该说简单随机抽样在实际中具有广泛的应用，尤其是在总体N较小或者总体方差与任意局部方差基本相当的情况下，简单随机抽样的优势明显。然而，当总体单元数N较大或者总体各单元之间差异较大时，采用简单随机抽样对总体指标进行估计通常会产生很大的误差。例如，欲通过调查了解我国居民的人均年收入水平。这时总体是全国人口的13亿人，倘若采取简单随机抽样从中抽取10万人入样，则需要将全国人口依次编号，然后在1~13亿中生产10万个随机数，然后将这些随机数一一对应成具体某个人。显然这样做是不实际的，就算可以，由于某些人口较少的省市或民族的样本量过小，

2、甚至没有样本点，从而降低了样本对总体的代表性。不仅如此，由于类似的全国性调查总是需要地方政府的大力协调与配合，如果地方政府不能通过此次调查获取辖区内的相关信息，达到一举两得的效果，那就勉为其难了。为了克服简单随机抽样上述缺陷和不足，本章引入——分层随机抽样（Stratifiedsampling）。§3.1定义与符号一、定义与符号（一）定义定义3.1层（类）：如果一个包含N个基本单元的总体可以分成“不重不漏”的L个子总体，即每个单元必属于且只属于其中一个子总体，则称这样的子总体为层（stratum）。设L个子总体所包含的单元数分别为，即有：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。，，定义3.2分层抽

3、样又称为类型抽样或分类抽样，即抽样在每个层中独立进行，总的样本由各层样本构成。定义3.3分层随机抽样若在每层中的抽样采用SRS，这样得到的样本为分层随机样本（stratifiedrandomsample）。即从第层简单随机抽样个单元，构成第层子样本。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。，，（二）分层的原因（1）当总体各单元差异比较大时，对参数估计误差比较大。将总体分层，同一层中各单位差异小，从每一层中抽取构成样本，这样样本就有代表性，可以提高估计的精度；残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（2）可以同时对子总体进行参数估计；75/28（3）便于依托各级管理机构进行组织和实施。（层内类似，层间差异）（三）符号

4、说明用下标表示层号（）。关于第层子总体的记号如下单元总数：，样本单元数：，第个单元标志值（观察值）：，层权：，抽样比子总体均值：，子样本均值：，子总体总量：，子样本总量：（注意此说法）子总体方差：，子样本方差：§3.2简单估计量及其性质一、总体均值的估计（一）简单估计量的定义对于分层样本，对总体的均值估计是通过对各层的子总体均值估计，按层权加权平均得到的。因此总体均值估计量的公式为：（局部平均加权）（3.1）根据简单随机抽样：，，分别是，，的估计量，而且它们都是无偏的。则此时公式为：（3.2）（二）估计量的性质定理3.1对于一般的分层抽样，如果是的无偏估计（），则75/28是的无

5、偏估计。定理3.2的方差（均方误差）为：（3.3/3.4）证明：由于各层抽样是独立的，故上面两结论自然成立。＃定理3.3对于分层随机抽样，是的无偏估计，的方差为：（3.6/3.7）（3.8/3.9）证明：显然＃定理3.4对于分层随机抽样，的一个无偏估计为：（3.10）（3.11/3.12）证明：显然＃二、总体总量的估计（一）简单估计量的定义，（二）估计量的性质推论3.1（1）对于一般的分层抽样，如果是的无偏估计（），则是的无偏估计。的方差（均方误差）为：75/28证明：显然＃（2）对于分层随机抽样，是的无偏估计，的方差为：证明：显然＃（3）对于分层随机抽样，的一个无偏估计为：证明

6、：显然＃例3.1调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查获得数据如下（单位：元），如表3.1。估计该地区居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。表3.1解：由上表，，，各层层权和抽样比为：，，，，，，75/28，。各层的样本均值及样本方差为：，，，，，，，，因此估计奶制品年消费总支出为：=209650（元）估计量方差和标准差样本估计值为：（元）95%的置信区间为，即[164162,255138].三、总体比例的估计（一）简单估计量的定义易知总体比例的估计为：（二）估计量的性质推

7、论3.2（1）对一般分层抽样，如果是的无偏估计（）则是P的无偏估计，的方差为：。（2）对于分层随机抽样，是P的无偏估计，注意到及，因此的方差为：(3.15)75/28(3.17)（3）对于分层随机抽样，的一个无偏估计为：(3.16)例3．2在例3.1的调查中，同时调查了居民户拥有家庭电脑的情况，获得如下数据（单位：台）如表3.2。估计该地区居民用有家庭电脑的比例及估计的标准差。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。表3.2解：由上表可得，，，，，，，因此，该地区居民拥有家庭电脑比例为：75/28