2011-数值分析期末试题（卷）a与评分细则

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1、电子科技大学二零一零至二零一一学年第二学期期末考试《数值分析》课程考试题A卷（120分钟）考试形式：开卷考试日期2011年月日课程成绩构成：平时20分，期中分，实验分，期末80分一二三四五六七八九十合计复核人签名得分签名得分一、填空题：（30分，每空3分）1.迭代公式，设，若有误差，按照迭代公式生成的数列误差随着n的增大而_____增大2.线性方程组，其中，，如果采用Jacobi迭代法解该线性方程组，其迭代矩阵为3.一个问题是否病态与问题本身有关4.当时，，则的二次拉格朗日插值多项式5.矩阵的范数等于106.三次样条插值具有2阶光滑性7.如果插值求

2、积公式为高斯公式，那么其求积公式具有2n+1次代数精度。8.线性方程组中，，则39.对于插值型积分公式，其积分节点越多，积分精度不确定。(越高，越低，不确定)10.对于微分方程初值问题，取步长，则其显式Euler方法的计算公式为得分二、判断题：错误用“×”、正确用“√”示意（10分，每小题2分）1.解线性方程组的迭代法收敛的充分必要条件为（×）2.如果线性方程组中矩阵为严格对角占优矩阵，那么对于任意迭代格式都是收敛的。（×）3.只要插值节点是互异的，则一定存在唯一的插值多项式满足插值条件。（√）4.曲线拟合比三次样条插值好的一个原因是曲线拟合的计算

3、量小。(×)5.常微分方程的初值问题中，预估-校正法能以较少的计算量达到与梯形法的相同的计算精度。（√）得分三、论述题（10分）1.(10分)有一种说法“对于拉格朗日插值，插值点并非越多越好；而对于曲线拟合，拟合点越多越好”请分析上面的说法是否正确，并说明相应的原因。解：（1）说法正确（2分）（2）插值与曲线拟合的区别，所采用的方法的区别（4分）（3）对于高次拉格朗日插值会出现龙阁现象，而曲线拟合采用最小二乘法，拟合点越多提供的信息越丰富，越能拟合出数据的规律。（4分）得分四、计算题：（50分）1.（12分）有数表如下x234y252114用最小二

4、乘法确定拟合模型中的参数a，b。要求所有计算结果保留到小数点后第四位。解：对拟合模型两边求对数，有，（2分）令，变量代换后有（2分）同理，对数表进行代换后有X0.30100.47710.6021Y1.39791.32221.1461（2分）取，根据最小二乘法，即有（3分）于是正规方程组为（1分）解得（1分）于是，拟合模型为（1分）2.(12分)确定,使求积公式的代数精度尽可能高，并指出是否是Guass型求积公式。解令故（1）(1分)令故（2）(1分)令故（3）(1分)联立上面三式得联立（2）（3）得：（因为a=6在积分范围以外，所以略去）(2分)再

5、由（1）(2)得(如果a=6也保留了，这2分全扣)下面判断是否是高斯积分令故(1分)令故（2分）不成立故具有三次代数精度(1分)高斯积分定义是，如果积分节点数为n，则代数精度为2n-1的积分。(1分)本题中，积分节点数为3，而代数精度为3，不满足高斯积分的定义，故不是高斯积分。（2分）3.(10分)取步长，用梯形法解常微分方程初值问题   计算经过梯形法一次迭代的结果，（要求给出相应公式，步骤清晰，并保留4位有效数字）解：(1)首先用Euler方法计算初值（2分）得（3分）(2)代入梯形法公式（2分）经过第一次迭代得：（3分）4.(16分)已知线性

6、方程组(1)请对该线性方程组进行初等行变化，使其能够使用Gauss-Seidel方法进行迭代计算，并说明原因。(2)请用Gauss-Seidel迭代计算经过变换后的方程组，要求写出迭代方程，并用Matlab实现迭代结果，判别条件为。解：(1)对线性方程组，第一行和第二行进行行变换得这个方程可以用Gauss-Seidel方法进行迭代求解。(3分)原因：(3分)因为经过变换后的方程组是一个对角占优的方程组，而对角占优矩阵的Gauss-Seidel方法是收敛的。(2)迭代方程为：（4分）程序：clearclcx1=0;x2=0;x3=0;x=[x1,x2

7、,x3];phy=1；whilephy>10^-4x1p=-0.5*x2-0.25*x3+7/4;x2p=0.2*x1p+0.3*x3+0.5;x3p=-(1/8)*x1p-(3/8)*x2p+3/2;xp=[x1p,x2p,x3p];phy=norm(xp-x,inf)x1=x1px2=x2px3=x3pend程序，取初值，（1分）设计一个能进入循环的判断（1分）进入循环判断（1分）循环内计算无穷范数（1分）循环内的迭代(2分)