电子科技大学-2010-数值分析期末试卷a及评分细则

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1、电子科技大学二零零九至二零一零学年第二学期期末考试《数值分析》课程考试题亠卷（120分钟）考试形式：开卷考试口期2010年—月—日课程成绩构成：平时20分,期中0分,实验0分,期末80分—•二三n五六七八九十合计一、填空题：（30分，每空3分）1.真值x*=23.496,近似值x=23.494,x的有效位数为4°2.等比数列几几+兄>1,设/?0=1,若几有误差，按照通项公式生成的数列误差随着n的增A大而减小3.对于定义于［a,b］区间上可积函数f（x）,在［a,b］上取10个求积节点，则插值型数值积分公式4.解线性方程组Ax=b的SOR

2、迭代法的迭代矩阵为S,松弛因子为⑵，如果SOR法收敛，其充要条件为p（S）<1」矩阵A=,则cond(A)8二56./（）（兀）,厶（兀）,・・・/”（兀）是以0,1,・・・,/!为插值节点的Lagrange插值基函数，贝工仏（x）=x°7.对于初值问题］V=f^ya

3、（））2（兀一Xi）'，10.两点x（pXpx（）HX］的三次Hcrmile插值的余项公式是:二、判断题：错误用“X”、正确用“J”示意（10分，每小题2分）1.最小二乘法拟合中得到的线性方程组总是数值稳定的。（X）2.互异的插值节点越多，使用Lagrange插值的结果误差就越小。（X）3.矩阵的范数越大，其条件数就越大。（X）4.相同的互异求积节点前提下，Gauss求积是具有最高代数精度的插值型积分求积公式。（丁）5.使用隐式Euler法解常微分方程初值问题，如果步长增加，则算法的数值稳定性将下降。（X）三、阐述题：（8分）使用Lagr

4、ange多项式插值逼近未知函数，为了提高插值结果的精确性，可以考虑增加插值节点，讨论这种方式的优缺点，并对可替代方法进行简单描述。1）增加插值节点等价于增加采样点，插值函数的光滑性增加，阐述出lagrange的wge现彖，指明lagrange插值只能用于低阶插值，3分2）描述出分段线性插值法，1分，2）描述出分段Hennite和样条插值，4分。四、解答题：（52分）_1-22_1.（12分）用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法解方程组Ax=h,分析其敛散性，式中A=—11—1；-2-21解：用Gauss-Seidel法，迭代矩阵

5、为G=(D-L)'U其屮1_-22~1,L=-1,u=-11-2-2_（2分）特征方程21-(D・L)"U—厶)-U=0(3分)由已知R(D—厶)-u=2(22+42-4)=0得特征值人=0,2,=-2(1+72),713=-2(1-72),(4分)所以/7(G)=2(14-72)>1,因此Gauss-Seidel迭代法发散。(3分)1.（10分）对于数值求积公式J*f（x）dxV/（-1）+£/（a）+/（0）J"33确定其中的待定参数使得代数精度尽可能高，并求出代数精度。解：1）几¥）二1时，左=2,右二2；（1分）2）/（%）=

6、x吋’左二0’右=丄（一l+2a+30）。（1分）213）/（%）=x2,左二二，右=—（1+2/+302）（1分）要求积分公式的代数精度达到2,要求下列方程成立丄(-1+24+30)=0*(1+2/+302)=彳（1分）二＞J2a+30=1和宀302=1（1分）%2解得《01.21±>/651丄2而=—±5-15（3分）（注，少算出一个，扣1分，如果只算出一个，得1分）于是得到枳分公式£f^dx=i/(-I)+1/(-^)+足+容)(A)3J)匸f^dx=”(_I)+敦G_等)+疋_等)(B)4）/（x）=X3时，左=1,A,B两式右端

7、均Hl,故积分的代数精度为2.（1分）3.（12分）有数表如下X2.22.63.44.01.0y6561545090用最小二乘法确定拟合模型y=axh中的参数a,bo解：对拟合模型两边求对数，有log10y=log10a+/?logI0x,（1分）令Y=log10y.X=logl0x,a=log10a,,变量代换后有Y=a+bX（1分）同理，对数表进行代换后有X0.3420.4150.5310.6020Y1.8131.7851.7321.6991.954取％（兀）=1，%（兀）=兀，根据最小二乘法，即有（2分）4(%，%)=工12=5/=

8、04产1.89/=0（5分）4(%'%)=工X：=0.934/=04(%")=》£=&983/=0fX必=3.303/=0丁•是.正规方程组为解得~51.89~a1.890.934b8.983