2010-2011第一学期数学分析试题（卷）(a)卷答案解析

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1、院、系领导审批并签名A卷广州大学2010-2011学年第一学期考试卷参考答案课程数学分析1考试形式（闭卷，考试）学院数学与信息科学系专业数学与应用数学、信息与计算科学班级学号姓名题次一二三四五总分评卷人分数101536831100评分一、填空题（2分/题，共10分）1、=2。2、设，则；。3、设，则0为可去间断点；而1为第二类间断点。4、设，若在点处连续，则。5、＝。二、单项选择题（3分/题，共15分）1、函数在点处的导数存在是在该点连续的（A）。A．充分而非必要条件；B．必要而非充分条件；C．充分必要条件；D．既非充分也非必要条件；2、下面结论中，正确的是(B)。A．数列收敛的充

2、要条件是其偶子列与奇子列均收敛；B．数列与数列同敛散；C．数列收敛的充要条件是数列收敛；D．数列与数列同敛散；3、当时，与为同阶无穷小，则（C）。A．0B．1C．2D．34、设在有定义，则下列叙述错误的是(B)。A．若均存在且相等，则在必有极限；B．若均存在且相等，则在必连续；C．若存在，则在必连续；D．若存在且相等，则在必可导；5、函数在上满足Lagrange中值定理的(D)。A．-1B.1C.D.三、计算题（6分/题，共36分）1、求数列极限++…+。解：由++…+…………4分又与…………5分由迫敛性:++…+。…………6分2、求函数极限：。解：原式==………1分==………3分

3、====………5分原式=........6分3、若，确定常数。解：这是型待定式，化成分式。原式左端分子有理化得：……………………3分由此知……………………5分故（不符合题意，舍去）……………6分4、设，求。解：时，=…………3分时，…………5分…………6分5、求函数的微分。解：…………………………2分两边对求导得：=……………4分……………………5分从而……………………6分6、设函数可导，，求。解：……………………3分………………………………6分四、应用题（8分）设曲线的参数方程为，(1)求该曲线在对应点的切线方程与法线方程；(2)计算二阶导数。解：（1）当时，……………………1分

4、……………………3分故所求的切线方程为：，即：………………4分法线方程为：，即：………………5分（2）。……………8分五、证明题（4小题，共31分）1、设，证明不等式：。（8分）证明：令………………1分则时：………………2分在严格递增，由在处连续且知：时，………………3分故：时，；………………4分令，则时，……………6分在严格递增，由在处连续且知：时，………7分故：时，………………8分综上命题得证。2、证明方程在内有且仅有一实根。（8分）证明：设………………1分则（1）在上连续………………2分（2）………………3分由根的存在定理，至少存在一点，使……………4分………………6分………

5、………7分故：仅有唯一一点，使………………8分综上得：方程在内有且仅有一实根。3、证明：在上一致连续。（8分）证明：∵有闭区间上连续，∴在上一致连续；……………………2分以下证在上一致连续:……………5分当时，有……………6分故在区间上一致连续；……………7分由书例10知，在区间上一致连续。……………8分4、叙述极限的归结原则，并证明不存在。（7分）解：归结原则：设在上有定义，则的充要条件是：对任何含于且趋于正无穷的数列，都有。……2分由在上有定义，设，……………4分显然……………5分而……………6分由以及归结原则知：不存在。……………7分