常微分练习题附标准答案

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1、常微分练习题答案一，计算题；1.解：齐线性方程的特征方程为，解得于是齐线性方程通解为令为原方程的解，则得，积分得；故通解为2、解：则从而方程可化为，，积分得3．解：4/4故方程的通解为。4.方程的基本解组是5．求方程的通解．．解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数得确定出，。6.2xylnydx+{+}dy=0解：=2xlny+2x,=2x,则==,故方程有积分因子==，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程.d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。7、求方程通过的第三

2、次近似解。解：4/4原方程的通解为。二.证明题；8．设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．证明：由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然是方程的两个常数解．任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．9．证：由于在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．又显然是方程的两个特解．现任取，，记为过的解，那

3、么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在区间必为．4/4残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。4/4