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1、常微分方程第6章习题6—21．求出常系数齐次性微分方程组的通解，其中的矩阵A分别为1）2）3）4）5）解：1）特征方程即矩阵A有特征根，对应于所有的特征向量满足即。取，则那么对应的实值解为；对应的特征向量满足即，取，则，那么对应的实值解为。于是该方程组的通解为2）特征方程为即矩阵A有特征根对应的特征向量应满足取，则即么对应的特解为第15页共15页常微分方程第6章由此得所对应的两个特解为（对2X2的方程组取一个特解的实部和虚部就可，因为虚根都是成对出现的。）它们在上线性无关，故得方程组的通解：3）即矩阵A有特征根，。对应于，特征向量应满
2、足又（只能进行行变换）因此与相应的特征向量可取为，对于二重特征根，可以算出因此，方程有二个线性无关的解为，注意到，就可得到第15页共15页常微分方程第6章从而可行基解矩阵因此所求通解为，即4）特征方程即矩阵A有特征根：，，对应的特征向量应满足解之得取则故相应的解为相应于的特征向量应满足第15页共15页常微分方程第6章取，，那么对应的复解为分别取实部，部可得方程组的两个实解,易知它们在上是线性无关的，于是方程组的通解为5）特征方程为矩阵A的特征根为，对应于，相应的特征向量应满足可以算出第15页共15页常微分方程第6章解之得，则那么相应的
3、解为对应于三重特征根，可以算出因此，方程有三个线性无关解为，，注意到，可得由以上结果，可得方程组的一个基解矩阵因此所求方程组的通解为或第15页共15页常微分方程第6章2．求出常系数非齐次线性方程组，的通解，其中：3），；4），；5），。3）解先求对应齐次方程组的通解特征方程，特征根为对于二重特征根，可以算出因此方程有二个线性无关的解由此可得齐次线性方程组的一个基解矩阵故非齐次方程组的通解为容易求出第15页共15页常微分方程第6章故于是非齐次方程组的通解为4）先求对应齐次方程组的通解特征方程为特征根为，，对应于的特征向量为对应于的特征向
4、量为应满足解之得，令，则其相应的复值解为：分别取实部和虚部，可得齐次方程组的两个线性无关的实解,从而可得齐次方程组的一个基解矩阵容易求得这个矩阵的逆的算法：第15页共15页常微分方程第6章这里是只能通过行变换将矩阵先变成下三角，再变成对角阵即可。自己认真算，我都能算对，大家一定可以的，复习高等代数了。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。我仔细算了一下，要是将齐次方程的通解写出来，再用常数变易法求出特解方程组的阶数高的时候比求矩阵的逆还复杂，所以还是建议大家用求矩阵的逆的方法来算吧。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。故则所以非齐次线性方程组的通解为(5)先求对应
5、齐次方程组的通解第15页共15页常微分方程第6章特征方程特征方程根为。对于三重特重根，可以算出因此方程有三个线性无关的解，，，，由此可得齐次线性方程的一个基解矩阵从而容易求得又故第15页共15页常微分方程第6章故非齐次线性方程组的通解为由于特征向量取的不同，结果肯能也不一样。但是课本答案出现肯定是不正确的。3．求出微分方程组满足初值条件的解，其中：（1），，；（2），，；（3），，解（1）齐次方程组的特征方程为特征根：对于二重特征根，可以算出同此方程有二个线性无关解，由此可得齐次方程组的一个基解矩阵第15页共15页常微分方程第6章从而
6、可求得故所以故非齐次线性方程组的通解为由初始条件解之得，故初值问题的解为（2）齐次方程组的特征方程为第15页共15页常微分方程第6章特征根为，对应的特征向量应满足取，则故从而可得齐次方程组的一个基解矩阵容易求得而又故非齐次线性方程的通解为由初始条有第15页共15页常微分方程第6章解之得故初值问题的解为或(3)齐次方程组的特征方程为特征根对应的特征向量应满足取,则那么相应的解为对应的特征向量应满足,取,则那么相应的解为从而得齐次线性方程组的基解矩阵为容易求得由于第15页共15页常微分方程第6章又故非齐线性方程组通解为由初值条件，得解之得
7、因此值问题解为或4.证明:常系数齐次方程组的任何解当时都趋于零,当仅当它的系数矩阵A的所有特征根都具有负的实部.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。证必要性:设特征根为,与之对应的方程组的解可表为。1）当即为实数时，的每一分量或者为一常向量，或者为的多项式的向量函数。此时总有当时,或者是常向量。那么只有当时,,故必为负实数.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。2）当时,为复数,则此时其中的向量多项式,当时,,那么,若使当时,有成立,只有,于是,第15页共15页常微分方程第6章必为负实数。充分性：若系数矩阵A的所有特征根都具有负的实部，设特征根为，与之对应的解为（
8、1）当时，为负数，由解的结构知，是关于的一个多项式的向量函数，而已知，其中为任意自然数，故形如（1）的解当时，。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（3）当时，是复数，由解的结构，此时（1）中的，其中是的多项式向量函数，又由于故形如（
