学年常微分方程(a)考试标准答案

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1、安徽大学2011—2012学年第一学期《常微分方程》（A卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共20分）（1）(a)；（2）(d)；（3）(d)；（4）(b)；二、请判断下面各题是否正确，并简述理由（每小题5分，共15分）（1）正确…………………………2分事实上，在上满足局部-条件，因此方程满足初始条件的解存在且唯一.……5分（2）正确…………………………2分事实上，作变换，则原方程可化为…………………………4分然后用常数变易法知可解……………5分（3）错误…………………………2分事实上，二阶线性方程与一

2、类特殊的线性微分方程组矛盾.…………………5分三、计算题（每小题10分，共50分）（1）解：方程变形为，令，则，………………5分可得，求解得，………………7分由初始条件知，。……………………10分（2）解：方程可写为两边关于求导数，得到当时，计算因此……5分上式两边乘以并积分之，得到…………………………7分第5页共5页得到方程的通解为……………9分当时，由方程可以直接得到也是方程的解.……………10分（3）解：作极坐标……………2分……………5分将原式两边关于求导数，得……………7分其通解为……………9分由初始条件求得特

3、解为……………10分（4）解：对应的齐次线性微分方程为其通解为当时，求得有一特解为，于是其有由初始条件代入，有特解为。……………5分当时，求得的特解为，于是有，由条件在时连续可微，故满足，因此有。于是有特解为……………10分（5）解：计算，得到……………2分当时，计算，得到；当时，计算，得到……………5分则基解矩阵为……………7分利用公式，计算得第5页共5页……………10分四、应用题（10分）（1）解：设时刻雨滴的体积为，表面积为，半径为，由题意知……………5分而，将其带入上式有,即,积分之有由于，则……………10分五、

4、综合题（第1小题3分，第2小题2分，共5分）解：（1）对方程两边求导数，有，对原方程，设，即有，因此有……………3分（2）这是二阶常系数齐线性微分方程，通解为。而原方程为一阶方程，代入原方程可得解为……………2分安徽大学2011—2012学年第一学期《常微分方程》（B卷）考试试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共20分）1．(d)；2.(c)；3.(b)；4.(c)二、请判断下面各题是否正确，并简述理由（每小题5分，共15分）（1）正确…………………………2分事实上，在点附近连续，则由解的存在唯一性知结论成立…

5、………………………5分（2）正确…………………………2分事实上，直接用积分因子代人第5页共5页…………………………5分（3）错误…………………………2分事实上，反证，假设结论成立.不妨设它为一个线性微分方程组的解矩阵，计算，而线性无关，矛盾.…………………………5分三、计算题（每小题10分，共50分）（1）解：依据定义域知，设，原方程等价的微分方程为，其对应的齐线性微分方程为其通解为…………………………5分设原方程有如下形式特解…………………………7分代入原方程有，即通解为……10分（2）解：令，则有……5分其特解为……

6、……………………7分整理得……………9分有特解……………10分（3）解：由积分与路径无关的条件，得到……………5分解得……………8分由初始条件求得特解为……………10分（4）解：(a)直接代入验证……………3分(b)求另一线性无关解第5页共5页易有基本解组……………5分利用常数变易法，设原方程有解，则满足……………7分解得……………8分所以通解为……………10分（5）解：，可交换，所以……………5分利用公式，计算得……………10分四、应用题（10分）解：设时刻细菌数的表达式为，则由题意知，，这是齐次线性微分方程，其通解为

7、由初始条件得，特解有……………5分依条件，代入，得，于是。……………10分五、综合题（第1小题3分，第2小题2分，共5分）解：（1）对方程两边求导数，有，对原方程，设，即有，因此有……………3分（2）这是二阶常系数齐线性微分方程，通解为。而原方程为一阶方程，代入原方程可得解为………2分第5页共5页