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《先验概率、后验概率与似然估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、先验概率、后验概率与似然估计本文假设大家都知道什么叫条件概率了（P(A
2、B)表示在B事件发生的情况下，A事件发生的概率）。先验概率和后验概率教科书上的解释总是太绕了。其实举个例子大家就明白这两个东西了。假设我们出门堵车的可能因素有两个（就是假设而已，别当真）：车辆太多和交通事故。堵车的概率就是先验概率 。那么如果我们出门之前我们听到新闻说今天路上出了个交通事故，那么我们想算一下堵车的概率，这个就叫做条件概率。也就是P(堵车
3、交通事故)。这是有因求果。如果我们已经出了门，然后遇到了堵车，那么我们想算一下堵车时由交通
4、事故引起的概率有多大，那这个就叫做后验概率（也是条件概率，但是通常习惯这么说）。也就是P(交通事故
5、堵车)。这是有果求因。下面的定义摘自百度百科：先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现.后验概率是指依据得到"结果"信息所计算出的最有可能是那种事件发生,如贝叶斯公式中的,是"执果寻因"问题中的"因".那么这两个概念有什么用呢？最大似然估计我们来看一个例子。有一天，有个病人到医院看病。他告诉医生说自己头痛，然后医生根据自己的经验判断出他是感冒了，然后给他开了些
6、药回去吃。有人肯定要问了，这个例子看起来跟我们要讲的最大似然估计有啥关系啊。关系可大了，事实上医生在不知不觉中就用到了最大似然估计（虽然有点牵强，但大家就勉为其难地接受吧^_^）。怎么说呢？大家知道，头痛的原因有很多种啊，比如感冒，中风，脑溢血...（脑残>_<这个我可不知道会不会头痛，还有那些看到难题就头痛的病人也不在讨论范围啊！）。那么医生凭什么说那个病人就是感冒呢？哦，医生说这是我从医多年的经验啊。咱们从概率的角度来研究一下这个问题。其实医生的大脑是这么工作的，他计算了一下P(感冒
7、头痛)（头痛由感冒引起的
8、概率，下面类似）P(中风
9、头痛)P(脑溢血
10、头痛)...然后这个计算机大脑发现，P(感冒
11、头痛)是最大的，因此就认为呢，病人是感冒了。看到了吗？这个就叫最大似然估计（Maximumlikelihoodestimation，MLE）。咱们再思考一下，P(感冒
12、头痛)，P(中风
13、头痛)，P(脑溢血
14、头痛)是先验概率还是后验概率呢？没错，就是后验概率。看到了吧，后验概率可以用来看病（只要你算得出来，呵呵）。事实上，后验概率起了这样一个用途，根据一些发生的事实（通常是坏的结果），分析结果产生的最可能的原因，然后才能有针对
15、性地去解决问题。那么先验概率有啥用呢？我们来思考一下，P(脑残
16、头痛)是怎么算的。P(脑残
17、头痛)=头痛的人中脑残的人数/头痛的人数头痛的样本倒好找，但是头痛的人中脑残的人数就不好调查了吧。如果你去问一个头痛的人你是不是脑残了，我估计那人会把你拍飞吧。接下来先验概率就派上用场了。根据贝叶斯公式，P(B
18、A)=P(A
19、B)P(B)/P(A)我们可以知道P(脑残
20、头痛)=P(头痛
21、脑残)P(脑残)/P(头痛)注意，(头痛
22、脑残)是先验概率，那么利用贝叶斯公式我们就可以利用先验概率把后验概率算出来了。P(头痛
23、脑残)=
24、脑残的人中头痛的人数/脑残的人数这样只需要我们去问脑残的人你头痛吗，明显很安全了。（你说脑残的人数怎么来的啊，那我们就假设我们手上有一份传说中的脑残名单吧。那份同学不要吵，我没说你在名单上啊。再说调查脑残人数的话咱就没必要抓着一个头痛的人问了。起码问一个心情好的人是否脑残比问一个头痛的人安全得多）我承认上面的例子很牵强，不过主要是为了表达一个意思。后验概率在实际中一般是很难直接计算出来的，相反先验概率就容易多了。因此一般会利用先验概率来计算后验概率。似然函数与最大似然估计下面给出似然函数跟最大似然估计的定义。我们
25、假设f是一个概率密度函数，那么 是一个条件概率密度函数（θ是固定的）而反过来， 叫做似然函数（x是固定的）。一般把似然函数写成 θ是因变量。而最大似然估计就是求在θ的定义域中，当似然函数取得最大值时θ的大小。意思就是呢，当后验概率最大时θ的大小。也就是说要求最有可能的原因。由于对数函数不会改变大小关系，有时候会将似然函数求一下对数，方便计算。例子：我们假设有三种硬币，他们扔到正面的概率分别是1/3，1/2，2/3。我们手上有一个硬币，但是我们并不知道这是哪一种。因此我们做了一下实验，我们扔了80次，有49次正面，
26、31次背面。那么这个硬币最可能是哪种呢？我们动手来算一下。这里θ的定义域是{1/3，1/2，2/3} 当p=2/3时，似然函数的值最大，因此呢，这个硬币很可能是2/3。
