对全国高考四川卷题的研究

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1、对2016年高考四川卷第15题的研究高考题1(2016年高考四川卷文科第15题)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身.现有下列命题：①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；②单元圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于轴对称，则它们的“伴随点”关于轴对称；④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是(写出所有真命题的序号).高考题2(2016年高考四川卷理科第15题)在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身.平面

2、曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是(写出所有真命题的序号).这两道高考题是一对姊妹题，下面只对后者做详细解答和研究.高考题2的解答②③．对于命题①：设点A的坐标为(x，y)，得其“伴随点”为A′，所以A′的“伴随点”的横坐标为＝－x；同理可得纵坐标为－y.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。所以点A′的“伴随点”是(－x

3、，－y)，得①错误．(也可举反例得出①错误：可求得点的伴随点为，而的伴随点为，而不是点A.)对于命题②：设单位圆上的点P的坐标为(cosθ，sinθ)，可求得点P的伴随点P′的坐标为(sinθ，－cosθ)，即P′(cos(θ－)，sin(θ－))，所以点P′也在单位圆上，得②正确．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。对于命题③：设曲线C上点A的坐标为(x，y)，得其关于x轴对称的点A1(x，－y)也在曲线C上，点A的“伴随点”为A′，点A1的“伴随点”为A′1，点A′与A′1关于y轴对称，所以③正确．酽锕极額閉镇桧猪訣锥。对于命题④：取y＝1这条直线，得A(0

4、，1)，B(1，1)，C(2，1)都在该直线上，这三个点的“伴随点”分别是A′(1，0)，B′，C′，而A′，B′，C′三个点不在同一直线上，所以④错误．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。下面再对高考题2作研究.设点P(x，y)的“伴随点”为P′(u，v).当即时，得P′(0,0).当时，.可证.下面只证：若，得，再得，与题设矛盾！所以.可得.若(得)，再得，此时欲证结论成立.若(得)，可把题设中的两式相除，得，所以由，得，所以.再由，可得，所以此时欲证结论也成立.由此可证得下面的结论.定理1过坐标原点的直线的“伴随曲线”是过坐标原点的直线；不过坐标原点的直线

5、的“伴随曲线”是圆；证明设直线上的点P(x，y)的“伴随点”为P′(u，v).当时，得P′(0,0).当时，即.此时，由点P(x，y)在直线上，可得进而可得欲证结论成立.定理2过坐标原点的圆的“伴随曲线”是直线及坐标原点组成的图形；不过坐标原点的圆的“伴随曲线”是圆.证明设圆上的点P(x，y)的“伴随点”为P′(u，v).当时，得P′(0,0).当时，即.此时，由点P(x，y)在圆上，可得当圆过坐标原点即时，可得欲证结论成立；当圆不过坐标原点即时，可得也欲证结论成立.所以欲证结论成立.推论(1)单位圆的“伴随曲线”是自身；(2)圆的“伴随曲线”是圆

6、；(3)圆的“伴随曲线”是直线及坐标原点组成的图形.