华师大附中数学复习教师教学案：实数与向量的积

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1、课题：实数与向量的积（1）教学目的：1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2.掌握实数与向量的积的运算律；3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行.教学重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件教学难点：对向量共线的充要条件的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示；3.零向量、单位向量

2、概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.7.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：+=+9．向量加法的结合律：(+)+=+(+)10．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a-b=a+(

3、-b)11．差向量的意义：=a,=b,则=a-b即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量二、讲解新课：1．示例：已知非零向量，作出++和(-)+(-)+(-)==++=3==(-)+(-)+(-)=-3（1）3与方向相同且

4、3

5、=3

6、

7、；（2）-3与方向相反且

8、-3

9、=3

10、

11、2．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）

12、λ

13、=

14、λ

15、

16、

17、（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=3．运算定律结合律：λ(μ)=

18、(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②第二分配律：λ(+)=λ+λ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ¹0，μ¹0，¹有：

19、λ(μ)

20、=

21、λ

22、

23、μ

24、=

25、λ

26、

27、μ

28、

29、

30、

31、(λμ)

32、=

33、λμ

34、

35、

36、=

37、λ

38、

39、μ

40、

41、

42、∴

43、λ(μ)

44、=

45、(λμ)

46、如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ¹0，μ¹0，¹当λ、μ同号时，则λ和μ同向，∴

47、(λ+μ)

48、

49、=

50、λ+μ

51、

52、

53、=(

54、λ

55、+

56、μ

57、)

58、

59、

60、λ+μ

61、=

62、λ

63、+

64、μ

65、=

66、λ

67、

68、

69、+

70、μ

71、

72、

73、=(

74、λ

75、+

76、μ

77、)

78、

79、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即

80、(λ+μ)

81、=

82、λ+μ

83、当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向；当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向，且

84、(λ+μ)

85、=

86、λ+μ

87、矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。∴②式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当¹，¹且λ¹0，λ¹1时（1）当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，作λλ则+λ+λ由作法知，∥有ÐOAB=ÐOA1B

88、1

89、

90、=λ

91、

92、∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λÐAOB=ÐA1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，

93、

94、=

95、λ

96、与λ方向也相同∴λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明：λ(+)=λ+λ∴③式成立4．向量共线的充要条件若有向量(¹)、，实数λ，使=λ，则与为共线向量若与共线(¹)且

97、

98、：

99、

100、=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=-μ从而得向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ三、讲解范例：例1若3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是已知向量，求ｍ，ｎ.分析：此题可把已知条件看作向量ｍ

101、、ｎ的方程，通过方程组的求解获得ｍ、ｎ.解：记3ｍ＋2ｎ＝ａ①ｍ－３ｎ＝ｂ②3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.∴ｎ＝ａ－ｂ④将④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝ａ＋ｂ评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。例2凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝(+).解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行

102、四边形，故F为AG中点.∴EF是△ADG的中位线，∴EF=,∴＝.而＝＋＝＋，∴＝（＋）.解法二：创造相同起点，以建立向量间关系如图，连EB，EC，则有＝＋，＝＋，又∵E是AD之中点，∴有＋＝0.即有＋＝＋；以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.∴＝＝（＋）＝（＋）四、课堂练习：1.错例分析判断向量ａ＝－２e