一元二次方程的求根公式与根的判别式

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1、一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲：黄冈中学高级教师　余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式　　将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．　　该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．　　说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；　　(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；　　(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2

2、、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。　　(1)“开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。　　(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。　　(3)“配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，

3、思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。　　(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：　　（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；　　（2）在运用

4、上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；　　（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10　　　　　　所以　　　所以　　(2)原方程可化为　　　因为a=1，，c=2　　　　所以　　　所以.　　(3)原方程可化为　　　因为a=1，，c=－1　　　所以　　　所以；　　　所以．总结：　　(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果

5、方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；　　(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：　　　①　　　　　　　　②　　　③　　　　　　④　　　⑤　　⑥　　　⑦分析：　　要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、因式分解法是特殊方法。　　⑴公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次

6、方程的求根公式求值，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如①，可以直接开平方，就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了。　　⑵配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶数，则可使用，计算量也不大。如②，因为224比较大，分解时较繁，此题中一次项系数是-2。可以利用用配方法来解，经过配方之后得到，显得很简单。　　⑶直接开平方法一般解符合型的方程，如第①小题。　　⑷因式分解法是一种常用的方法，它的特点是解法简单，故它是解题中首先考虑的方法，若一元二次方程

7、的一般式的左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时，应考虑变换方法。解：①　　　　　　　　两边开平方，得　　　　所以　　②　　　　配方，得　　　　　　　　所以　　　　所以　　③　　　　　　　　配方，得　　　　　　　　所以　　　　所以　　④　　　　因为　　　　所以=4＋20=24　　　　所以　　　　所以　　⑤　　　　　　　　配方：　　　　　　　　所以　　　　所以　　⑥　　　　整理，得　　　　　　　　所以　　　　⑦　　　　移项，提公因式，得　　　　　　　　所以小结：　　以上各题请同学们用其他方法做一做，再比较各种方法的优缺点，体会如何选用合适的方法，下

8、面给出常规思考方法，仅作参考。　　例3、已知关于x的方程ax2－3x＋1=0有实