从研究性学习到研究性测验考试——江苏卷题例话

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1、从研究性学习到研究性考试——江苏卷第19题例话原题（1）设a1，a2，…，an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来顺序）是等比数列：矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。①当n＝4时，求的数值；②求n的所有可能值；（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1，b2，…，bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。题设本题一扫“新题”要用长篇大论作自我介绍的旧习，使题设具有简明性.简明题设方便操作，按“各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0”

2、立即可得：（1）自然数列1，2，3，4，5，…符合条件；（2）常数列2，2，2，2，2，…不符合条件；（3）等差数列1，，，，0，…符合条件.简明题设排除了复杂题设可能产生的歧义干扰，为考生研究性解题提供了良好的导向作用.题问考前模拟不曾见过的设问：“求n的所有可能值”——没有一个现成的公式或方程能解得这些“可能值”；“求证存在一个”——没有一个现成的定理或法则让你像囊中探物一样，把“存在”的“一个”顺手抓来！这些不落俗套的问题，具有鲜明的研究性.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。新课程标准倡导研究性学习.研究性学习的成绩如何考查？考查研究性学习所得到的几个现成但有限的结

3、论是显然不够的！酽锕极額閉镇桧猪訣锥。研究性学习的考查，要用研究性考试来实现，考查的主要目标是用来获取新知的研究能力和研究方法.研究性考试需要研究性考题，具有研究性设问的题目才有研究价值.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。起点虽然进入到了考卷“后三题的跨高境界”，但本题在起点上有较好的可接受性.考生没有因为“面孔全新”而感到“面孔全非”，因为对题目中的“等差数列”和“等比数列”感到分外亲熟.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。题目问得很高，然而台阶设得很低：从n＝4开始，只要还知道自然数列前4项1，2，3，4的人，就容易地看到，删去其中的第3项，就得到一个首项为1公比为2的等比数列.厦

4、礴恳蹒骈時盡继價骚。这时有=1，看来本题不会有交白卷的人！滩头堡的夺得，无论在技术上还是心理上，都让考生增强信心.例如，乘胜可得的还有：在=1中，分子分母同时改变符号，等式还成立，因此数列－1，－2，－3，－4也为所求.实验数学推理和数学实验是数学解题的两大支柱.研究性解题离不开数学实验.本题提供的实验对象——等差数列的有限前项——有较好的可操作性.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。以上两个等差数列，都是在去掉第3项后成为等比数列的.如果去掉第1或第2或第4项呢？通过有限的实验操作，确认它们都不成为等比数列.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。这里的推理，不是“以理推理”，而是“实验检

5、验”或称“检验推理”.“以理推理”属演绎推理，而“检验推理”属归纳推理.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。归纳推理也要依据，本题在归纳验证中的依据就是等比数列的定义.有没有一个只有4项（各项且公差均不为零）的等差数列，在删去它的第2项后成为等比数列的？我们可以先搜索，后归纳.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。让a1=1，d=－1/4，数列1，3/4，1/2，1/4为所求.让a1=－1，d=1/4，数列－1，－3/4，－1/2，－1/4也为所求.这时还有=－4.归纳对于①，当n＝4时，即a1，a2，a3，a4是各项均不为零的等差数列，且公差d≠0．1）删去a1，设a2，a3，a4成等比

6、数列，由此解得a2＝a3＝a4，与d≠0矛盾．2）删去a2，设a1，a3，a4成等比数列，即a1，a1＋2d，a1＋3d成等比数列，∴，则＝－4．3）删去a3，设a1，a2，a4成等比数列，即a1，a1＋d，a1＋3d成等比数列，∴，则＝1．4）删去a4，设a1，a2，a3成等比数列，由此解得，a1＝a2＝a3，与d≠0矛盾．本题在归纳中有开放性，检验各具体对象时，有的“归是”，有的“归非”，不像那些有套路的归纳——“一归即是”！渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。本题在归纳中又有确定性，归纳结果是：＝－4或1．综合本题在研究性解题中有综合性，在整体归纳的同时，可以恰到好处

7、进行“局部演绎”.对于②，可以利用①的结论“以理推理”.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。n≥6时，则无论删去哪一项，均有原数列中的连续三项既成等差数列，又成等比数列，则数列为常数列，与题设不符，∴n≤5．擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。若n＝5，则只可能在等差数列a1，a2，a3，a4，a5中删去a3，使a1，a2，a4，a5成等比数列．贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。由①中3）知，d＝a1，则a2＝2a1，a4＝4a1，a5＝5a1（a1≠0），但它们不成等比数列．由此可知：n只能为4．坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。猜想研究性解题的出发口岸是猜想，本题在猜想上有科学性.科学的猜想应朝着可能性大—

8、—概率大的方向！关于（2），对于一个给