纯态微分几何结构

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1、纯态的微分几何结构摘要纯态D1㈣)是研究所有密度态空间D(n)的基础。本文主要从几何的角度讨论了密度态空间D(71)中纯态D1(w)的一些问题。我们给出了纯态D1㈣)作为矿∽)的子流形的黎曼度量g，并且利用g定义了D-㈣)作为复流形上的Hermite结构h，得到h与复射影空间上的Fubini—Study度量相差一个常数倍。我们知道，如何有效地判断复合量子系统中的一个密度态的纠缠性是一个非常重要的问题。本文定义了复合量子系统中一个纯态的长度的概念，并且它可以作为度量系统之间纠缠程度的一个“量”。同时本文还给出了判断一个复合量子系统中的纯态是否是纠

2、缠的一个充要条件。关键词密度态，纯态，混合态，Fubini—Study度量，纠缠，可分纯态，纯态的长度，Hilbert空间。纯态的微分几何结构ABSTRACTThesetD1(7-／)ofpurestatesisthefoundationofstudyingthespaceD(n)ofdensitystates．ThispaperstudyssomeproblemsaboutpurestatesD1(“)indensitystatesD(74)fromthegeometricpointofview．WegivetheRemannianmetri

3、cgofthepurestatesD1(丸)asasubmanifoldofn+Ⅲ)，definetheHermitianstructurenfcomplexmanif()ldD1(列)byg，andfindthathandtheFubini—studymetriconthecomplexprojectivespacesdifferbyaconstantmultiple．Itisoneofveryimportantproblemstoeffectivelydecidewhetheragivencompositestateisentangledo

4、rnot．Inthispaper，thelengthofapurestate0ncompositequantumsystemsisdefined，anditcanbeusedasameasurementoftheentanglement．Wealsogiveanecessaryandsufficientconditiontodecidewhetheragivencompositepurestateisentangled0rnot．Keywordsdensitystates，purestates，mixedstates，Fubini-studym

5、etricentanglement，separablepurestates，thelengthofapurestate，Hilbertspace．2纯态的微分几何结构引言一个n维Hilbert空间觎上的密度态空间D㈣)，是空间w上的迹为1的正算子构成的集合，是“上的酉变换构成的群u(n)的李代数u(n)的对偶矿㈣)的子集，是一个自然的流形层化空间，其中的分层是由密度态的秩诱导的．秩为☆的密度态空间记为D‘啤)(☆=1，2，⋯，扎)，是“+(咒)中实维数为2nk一☆z一1的光滑连通子流形．其中，k=l时称为纯态，k>1时称为混合态．本文主要从几何

6、的角度讨论纯态的一些问题．我们知道，纯态D-㈣)是密度态D(?-／)的极值点集，D(n)中任一元素都是D1㈣)中元素的凸组合，所以，纯态D1㈣)是研究所有密度态集合D(7／)的基础．本文第三章的第一、第二节主要是关于纯态D1㈣)的整体几何性质的讨论．给出了D1㈣)作为u+∽)的子流形的黎曼度量9，并且利用g定义了D-∽)作为复流形上的Hermite结构h，得到h与复射影空间上的Fubini-study度量相差一个常数倍，进一步说明了D1∽)与复射影空间的同胚性．并且本文对dim(7-1)=2时，给出了详细论述，还给出了D-(2)的一些几何性质．

7、在本文第三章的第三、第四节中，我们主要讨论复合量子系统中的纯态．我们知道复合量子系统中的一个密度态的纠缠性是一个非常重要的问题，它在量子信息理论中起着关键的作用．如何有效地判断一个给定的复合态是否是纠缠的，以及纠缠程度如何至关重要．从理论上虽然已经有了很好的结果，如1．咒1@烈2上的态P可分错Tr(Ap)≥0．其中A是任意一个满足Tr(A(P@Q))≥0的算子，任意P{Q分别是作用在w。，％上的纯态．见文献[13】．2．咒，圆“：上的态P纠缠告争存在Hermite算子W，使得对所有可分态P。cp，有Tr(wp)<0，Tr(wp∞)≥0．见文献【

8、14】．但这些方法实际运用却很困难，实际上，只对低维的情况如dim(Tt。)=2，纯态的微分几何结构dim(7-I：)=2；dim(咒1)=2，dim