二次函数历年中考精品压轴题(四边形存在性问题)解析精选

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1、二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．【答案

2、】解：（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3。∵点A在点B的左侧，∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。当x=0时，y=3。∴C点的坐标为（0，3）。设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），则，解得。∴直线AC的解析式为y=3x+3。∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）。（2）抛物线上有三个这样的点Q。如图，①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1

3、+，﹣3）；39/39③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）。综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）。（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。过点B′作B′E⊥x轴于点E。∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1=∠2。∴Rt△AOC∽Rt△AFB。∴。由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，∴A

4、C=，AB=4。∴，解得。∴BB′=2BF=，由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴。∴。∴B′E=，BE=。∴OE=BE﹣OB=﹣3=．∴B′点的坐标为（﹣，）。设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），则，解得。∴直线B'D的解析式为：。联立B'D与AC的直线解析式可得：，解得。39/39∴M点的坐标为（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形三边关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解二元一次方程组。残骛楼

5、諍锩瀨濟溆塹籟。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点可求得A．B两点的坐标，同样，由由抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C可求得C点的坐标。用待定系数法，可求得直线AC的解析式。由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4可求得顶点D的坐标。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（2）由于点P在x轴上运动，故由平行四边形对边平行的性质求得点Q的坐标。（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则根据轴对称和三角形三边关系，

6、知点M为所求。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。因此，由勾股定理求得AC=，AB=4。由Rt△AOC∽Rt△AFB求得，从而得到BB′=2BF=。由Rt△AOC∽Rt△B′EB得到B′E=，BE=，OE=BE﹣OB=﹣3=，从而得到点B′的坐标。用待定系数法求出线B′D的解析式，与直线AC的解析式即可求得点M的坐标。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。【例2】.如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线的“抛物线三角形”是等

7、腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．茕桢广鳓鯡选块网羈泪。【答案】解：（1）等腰。（2）∵抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，39/39∴该抛物线的顶点满足（b＞0）。∴b=2。（3）存在。如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形。当OA=OB时，平行四边形ABCD为矩形。又∵AO=AB，∴△OAB为等边三角形。作AE⊥OB，垂足为E，∴，即，∴．∴。设过点

8、O、C、D三点的抛物线，则，解得，。∴所求抛物线的表达式为。【考点】二次函数综合题，新定义，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中心对称的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。鹅