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1、二次函数中考压轴题(三角形与存在性问题)解析精选【例1】・已知：如图一，抛物线y=ax?+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C,直线y=x—2经过A、C两点，只AB=2.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，门分别交y轴、线段BC于点E、D,同时动点P从点B出发，沿B0方向以每秒2个单位速度运动，(如图2):当点P运动到原点O吋，直线DE与点P都停止运动，连DP,若点P运动吋间为t秒；设ED+OPEDOPt为何值时，s有最小值，并求出最小值。(3)在(2)的条件下，是否存在
2、t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与AABC相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由・。(1)在y=x-2中，由x=0得y=—2,AC(0,—2)。【答案】解:由y=0得x=2,/.A(2,0)。VAB=2,・・・B(4,0)o・••可设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-4),代入点C(0,-2)得•I抛物线的解析式为y=(x-2)(x-4)=-—x2+—x-2o442(2)由题意：CE=t,PB=2t,OP=4-2toEDCEEDt•・・ED〃BA,・•.ACED^ACOBo——=—,即——=_。AED=2toOBCO42._ED+OP
3、=2t+(4_2t)=4=]SEDOP2t-(4-2t)-4tin综上所述，当土或时，以P、B、D为顶点的三角形与AABC相7似。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】(1)求出C、A^B的坐标，设抛物线的解析式为y=a(x—2)(x—4),代入点C的坐标求出a即可。(2)由题意：CE=t,PB=2t,OP=4-2t,由ED〃BA得HiACED^ACOB,从阳EDCEED+OP1—=—，求出ED=2CE=2t,根据十讥——,根据二次函数的最值求出OBCOEDOP_(
4、t-l)24-l+8t_(t-l)2+1・••当t=l时，-(t-l)2+l有最人值1。・・.当t=l时，$二ED+°P的值最小，最小值是1。EDOP(2)存在。设BC所在直线的解析式为y=kx+b,由B(4,0),C(0,-2)得14k+h=0V=—1，解得2…乂所在直线的解析式为y=-x-2ob=-2u02b=-2由题意可得:D点的纵坐标为t—2,则D点的横坐标为2t°・・・BD=^(4-2t)2+(t-2)2=V5(2-t)oXBC=VOB2+OC2=V42+22=2^5。・・・ZPBD=ZABC,・•・以P、B、D为顶点的三角形与AABC相
5、似有两种情况：业BPBD_1H12tV5(2-t).wzn2当——=—时，即一=—,解得t=—；ABBC22a/53x.zBPBC“Hn2t2[5/t73/n10当一=—时，即——=——，解得t=—OBDBAV5(2-t)27即可。opor)op(3)以P、B、D为顶点的三角形与AABC相似有两种情况：—=—^11—=—ABBCBDBA代入求出即可。【例2】・如图，矩形0BCD的边OD、0B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且0D=10,OB=8.将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合.(1)直接写出点A、B的坐标：A(・，)
6、、B(,);(2)若抛物线y=—yx2+bx+c经过点A、B,则这条抛物线的解析式是；(3)若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN丄x轴于点N.问是否存在点M,使厶AMN与AACD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由;(备用图)【答案】解：(1)(6,0),(0,-8)ozxI2IOc(2)y=——x~+—x-8o33(3)存在。设Mm,——m2+一m-833则N(m,0)MN=--m2+—m-8,NA=6—m。33XDAM,CD=8,MNNA①若点M在点N上方，—^AAMN^AACD.-m2+—m-8,_—二宁’即416m+6
7、O0,解得”6或”10。与点M是直线AB上方抛物线上的-个动点不符。・・・此时不存在点M,使AAMN与厶ACD和似。MNNA②若点M在点N下方，—则△AMNsUCD。121°M—mm+X—=,即-4m-12=0,解得m=—2或m=6。84与点M是直线AB上方抛物线上的一个动点不符。・・・此时不存在点M,使AAMN与厶ACD相似。MNNA③若点M在点NS，—=->W'JAAMNooAACD.12J02——m+—m-8._=,即201?-23m+66=0,方程无解。48・・・此时不存在点M,使△人临与厶ACD相似。MNNA④若点M在点N下方，—^AA
8、MN^AACD.—m2-—m+8,_斥/•=,即2m2-17m+30=0,解得m=—或m=6。482当m=—吋符合条件。2
