中值定理与导数应用技术部分作业附标准答案

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1、第三章中值定理与导数的应用部分作业答案习题3---1（P156）3、证明：不管取何值，方程在区间上至多有一个实根。证：（反证）设，为方程在区间上的两个不相等的实根，令，则在上连续，在内可导，且，据罗尔定理，知：至少存在一个，使得，但这与相矛盾,所以不管取何值，方程在区间上至多有一个实根.6、证明不等式：（2）证：令，则在或上连续，且在或内可导，于是据拉格朗日定理，知：，其中介于与之间，即，从而。习题3---2（P162）1、求下列极限（1）；（2）；（3）；31/9（4）解：；（5）；（6）（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；31/9（12）。习题

2、3---4（P177）3、确定下列函数的单调区间：（1）解：定义域为，，令，得驻点：，；列表讨论：00故函数的单调递增区间有：和；单调递减区间有：。（2）解：定义域为，，令，得驻点：，（舍去）；列表讨论：031/9故函数的单调递增区间有：；单调递减区间有：.4、证明下列不等式：（1）当时，解：令，则在上连续，在内可导，且当时，，于是在上单调递增，从而，即当时，；（2）当时，解：令，则在上连续，在内可导，且当时，，于是在上单调递增，从而当时，，即。7、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）解：定义域为，31/9，令，得：；列表讨论：0拐点（，）故函数的凸区间有：

3、，凹区间有：拐点有：（，）。（2）（1）解：定义域为，，令，得：，；列表讨论：00拐点（，）拐点（，）故函数的凸区间有：和；凹区间有：；拐点有：（，）和（，）。习题3---5（P190）1、求下列函数的极值：31/9（1）解：定义域为，，令，得驻点：，；列表讨论：00极大值极小值故函数有极大值，有极小值。（3）解：定义域为，，令，得驻点：，，；列表讨论：0000极大值极小值极小值故函数有极大值，有极小值。（5）解：定义域为，，31/9于是没有驻点，但有不可导点：；列表讨论：0极大值故函数有极大值。（7）解：定义域为，，令，得驻点：；列表讨论：0极大值故函数

4、有极大值。3、试问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值，并求此极值：解：因，于是在处取得极值必须：，即。当时，，于是31/9，故当时，在处取得极大值。4、求下列函数的最大值、最小值：（1）解：，令，得驻点：，；比较，，，，知：在上的最大值为，最小值为。（2）解：，令，得驻点：；不可导点为；比较，，，知：在上的最大值为，最小值为。7、某车间靠墙壁要盖一间面积为64㎡的长方形小屋，而现有存砖只能够砌24m长的墙壁，问这些存砖是否足够围成小屋？解：设小屋的宽为m，则长方形小屋的长为m，于是应砌墙壁的总长为，其中。因，令，得唯一驻点：。31/9又，于是

5、是在内的唯一极小值，从而在内的最小值为，故这些存砖足够围成小屋。8、要造一圆柱形油罐，体积为，问底半径和高等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？解：设圆柱形油罐的表面积，因，令，得唯一驻点：。又，于是是的唯一极小值，从而的最小值为，故当底半径和高时，才能使表面积最小。且底直径与高的比是。31/9