中值定理与导数应用技术附标准答案

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1、习题3.1（A）一选择1—5BCBDB二计算与证明1．若，证明。证明：令，则当时，，从而在单增因为，故，即2．设，证明。证明：10：令，则因，则，从而在单减。故，即20：令，则当时，，从而在单减故，即由100、20知，（B）一选择1—4CBDD二计算与证明13/131．求解：令，则在上连续，在可导，故由拉格朗日定理知，存在一点，使当时，则故原式2．设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。证：令，因为在上连续，且，，则由零点存在定理在内至少存在一点，使，即。下证唯一性。设在内存在两个点与，且，使，，在上运用拉格朗日中值定理，则有，

2、使得这与题设矛盾，故只有一个使。3．设在上具有二阶导数，且，如果，证明至少存在一点，使。证明：由题设知在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使得。13/13因为，则由题设知在上连续，在内可导，且，故在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使，4．设在上连续，在内二阶可导且，且存在点，使得，试证至少存在一点，使得。证：在及上都满足拉格朗日定理条件，则存在，，使得因为，则，因在内二阶可导，则在上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点，使。习题3.2一选择1—5CBABD二计算1．求解：原式2．求解：原式13/133．求解：原式4．求解：令，则∵∴原式5．求解：

3、令，则故原式令，则∵∴原式6．求极限。解：令，则13/13∵∴原式7．求解：原式习题3.3略习题3.4—3.6（A）一选择1—8CACBCDCD二计算1．求函数的单调区间。解：当时，，当时，当时，故在及单增，在单减。2．求函数的极值。解：13/13令得当时，，从而单减当时，，从而单增故时，取极小值03．求函数的单调区间与极值。解：令，得或故可疑极值点1，1-+-极小值0极大值4．当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。解：由于在处有极值，则，从而当时，，从而单增当时，，从而单减故在处取得极大值。5．求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边

4、长。解：设矩形在第一象限的顶点坐标为，则13/13故矩形面积为当时，取最大值，矩形边长分别为和。6．函数的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。解：，因，则是开口向上的抛物线要使没有极值，则必须使在是单增或单减即必须满足或故只有时，才能使成立即时，没有极值。7．试证的拐点在曲线上。证：，设是的拐点，则即∵∴的拐点在曲线上。8．试证明曲线有三个拐点位于同一直线上。证：，13/13令得：，，∴，，故三个拐点，，容易验证：、、在同一直线上。9．试决定中的的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。解：，令，得或-1则拐点为及10．在拐点处切线斜率为从而在拐点处法线斜

5、率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以20．在拐点处切线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以。故时，曲线的拐点处的法线通过原点。（B）一选择1—6DBDDCC二计算与证明1．试证当时，取得极值。证：故时，有解13/13当时，，从而单增当时，，则单减当时，，则单增故在处取得极大值在处取得极小值2．求由轴上的一个给定点到抛物线上的点的最短距离。解：设是抛物线上任一点，则到的距离为从而令，得或10．当时，只有一个驻点当时，，从而单减当时，，从而单增故是的极小值点，极小值为2．当时，有三个驻点，，当时，，从而单减当时，，从而单增当时，，从而单减当时，，

6、从而单增故是极小点，极小值为13/13习题3.7一选择1.B二计算略自测题一选择1—3BDC二解答1．求解：令，则，从而故原式2．求解：令，则13/13故原式3．设函数二次可微，有，，证明函数，是单调增函数。证：当时，连续由于故因为所以在处连续，故在上连续。令，则当时，，单增，从而当时，，单减，从而故时，，从而因为，则，从而13/13有，故是单调增函数4．研究函数的极值。解：10．当时，，从而令得当时，，则单增当时，，则单减故是的极大值点，极大值为20．当时，，从而说明单增，故是极小值点，极小值为030．当时，，从而说明单减，故是极大值点，极大值为15

7、．若在上有二阶导数，且，试证在内至少存在一点，满足。证：由泰勒展式，有，，令，得于是令 ，则13/13故结论成立。6．设在上具有二阶导数，且，，证明：存在一点使。证：设是的最小值点，因为在上具有二阶导数，由题设知，，故在处的泰展式为，在与之间即1．若，则即2．若，则即故存在一点，使。13/13