若干数学典故中的数学文化new

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1、（八）第三章若干数学典故中的数学文化第一节历史上的三次数学危机历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机，危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。一、第一次数学危机第一次数学危机是由2不能写成两个整数之比引发的，我们在第一章已专门讨论过，现再简要回顾一下。这一危机发生在公元前5世纪，危机来源于：当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现2不能表为整数比。其实质是：2是无理数，全体

2、整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个81十分巧妙的关于“两个量之比”的新说法，回避了2是无理数的实质，用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何原本》中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出

3、的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。1．危机的引发1）牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻t0的瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内的平均速度，无法求某一时刻的瞬时速度。82牛顿的思路是：让时间从t0变到t1，这段时间记作∆t=t1−t0，而这∆S段时间里物体走过的距离记作∆S。比值便是t0到t1这段时间内物体∆t的平均速度。牛顿设想：∆t越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t0的瞬时速度。当∆t越来越小（当然∆S也越来越小），最后成为无∆S穷小，将要

4、变成0而还不是0的时候，两个无穷小之比，就是所∆t要求的瞬时速度。12例如，设自由落体在时间t下落的距离为S(t)，有公式S(t)=gt，2∆S其中g是固定的重力加速度。我们要求物体在t0的瞬时速度，先求。∆t111222212∆SStSt=−=−=+()()gtgtgttt[(∆)−]=∆gttt[2+()]∆10100002222∆S1∴=gt0+=g(∆t)[大庆：删去左边的第二个等号]∆t2（*）1当∆t变成无穷小时，右端的g⋅(∆t)也变成无穷小，因而上式右端2就可以认为是gt0，这就是物体在t0时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法

5、解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到指责。832）贝克莱的发难英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。贝克莱问道：“无穷小”作为一个量，究竟是不是0？①如果是0，（*）式左端当∆t和∆S变成无穷小后分母为0，就没有意义了。1如果不是0，（*）式右端的gt()∆就不能任意去掉。2②在推出（*）式时，假定了∆t≠0才能做除法，所以（*）式的成立是以∆t≠0为前提的。那么，为什么又可以让∆t=0而求得瞬时速度呢？③因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从5×0=3×0出发，两端同除以0，得出5=3一样的荒谬。贝克莱还讽刺挖苦说：即然∆S和∆t都变成“无穷小”了，而无穷小作为一个量，

6、既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。843）实践是检验真理的唯一标准应当承认，贝克莱的责难是击中要害的。“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现，那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真理的

7、唯一标准。”2．危机的实质第一次数学危机的实质是“2不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓“最终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的比——例如（*）式中的gt，它不是85“最终的量的比”，而是“比所趋近的极限”。他这里虽然