第09讲_随机过程的线性变换4

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1、复习最佳线性滤波器目标：输出信噪比最大化*一般平稳噪声：S()ω−jtω0H()ω=ce⋅G()ωn2⎛⎞S1∞S()ω⎜⎟=∫dω⎝⎠NG2(πω−∞)maxn白噪声（匹配滤波器）：H(ω)=cS*(ω)e−jωt0*ht()=−cst(0t)对于实信号：ht()=cst(0−t)2⎛⎞SE12∞S()ω⎜⎟==∫dω⎝⎠NG2(πω−∞)Nmaxn074匹配滤波器例12设矩形脉冲串信号为M-1⎧at,0≤≤τst()=∑stkT1(-)其中st1()=⎨⎩0,tt<0,>τk=0试设计矩形脉冲串信号的匹配滤波器。s(t))at0τT2T3T751匹配滤

2、波器M−1−jkTω解：信号的频谱为SS()ω=∑1()ωek=0st()的匹配滤波器为M−1Hc()ω=Sec**()ω−jtω−00=∑Se()ωjkTωejtω1k=0取tMT=−+(1)τ0M−1*[jkTω−ωj(M−1)T+τ]得Hc()ω=∑Se1()ωek=0M−1*(−ωτj−ω−−jMkT1)=ωcS1()e∑ek=0=ωωHH()()1276匹配滤波器*−ωτj子脉冲H()ω=cS()ωe11匹配滤波器M−1He()ω=−ω−−jMkT(1)=+1ee−ωjT++"−ω−jMT(1)相参2∑积累器k=0⎛⎞SE222MEE11输出的最

3、大信噪比⎜⎟===⋅M⎝⎠NNNNmax000772匹配滤波器以M=4为例：y(t)第三个延迟器第二个延迟器第一个延迟器子脉冲匹配滤波器t0τT2T3T3T+τ78广义匹配滤波器问题的提出对于平稳白噪声，最佳线性滤波器为匹配滤波器Hc()ωω=Se*()−jtω0对于一般平稳噪声（有色噪声），最佳线性滤波器的系统传递函数为*S(ω)−jωt0H(ω)=ceG(ω)n下面将讨论一种实现结构，称为广义匹配滤波器。793广义匹配滤波器功率谱的分解在实际中，许多平稳随机过程的功率谱具有有理函数的形式22MM(−1)2ωω+aa++"ω+a22(M−1)20Gc()

4、ω=X022NN(−1)2ωω++bb"+ω+b2(N−1)20性质：2自变量为ωNM>分母多项式无实根80广义匹配滤波器谱分解定理(jjω+αω11)""(+αMM)(−+jjωαω)(−+α)G()ω=cciX00()jjωβ++−11""()ωβNN()jjω+β()−ω+β左半平面右半平面（物理可实现）（物理不可实现）+−G()ωG()ωXX+−谱分解得：GGG()ω=()ωωi()XXX−+*[(Gs)]=Gs()XX814广义匹配滤波器假定噪声具有有理的功率谱+−++*GGGGG()ω=()()ωω=()[()]ω⋅ωnnnnn得**SS()ω

5、ω−ωjt001⎡⎤()−ωjtHce()ω==ic⎢⎥eHH=()()ωω++12GG()ωω()⎣⎦G()ωnnn看成如下两个线性系统的串联：H()ωH()ω12*1⎡⎤S()ω−jtωH()ω=Hc()ω=⎢⎥e01G+()ω2+n⎣⎦Gn()ω82广义匹配滤波器s()tnt+()s′()tnt+′()s00()tnt+()H()ωH()ω12白化滤波器匹配滤波器nt′()的功率谱211GGHGnn′()ω=()ω⋅1()ω=n()ω⋅++⋅*=1GG()[()]ωωnn噪声通过H1()ω后变成了白噪声S()ωs′()t的频谱函数SSH′()()()

6、ωωω=⋅=1+G()ωn*⎡⎤S()ω−jtω0正好是白噪声下对应Hc()ω=⎢⎥e2+⎣⎦G()ω于s′()t的匹配滤波器n835广义匹配滤波器广义匹配滤波器的传输函数HHH()ω=ωω()()12物理可实现可能物理不可实现对于物理可实现系统：+⎡cS*()ωe−ωjt0⎤H()ω=⎢⎥2c−⎣G()ω⎦n+得：1(⎡cS*ω)e−ωjt0⎤HHH()ω=()()ωω=i⎢⎥12c+−GG()ωω⎣()⎦nn用拉氏变换表示为：+1(⎡cS−se)−st0⎤HsHsHs()==()()i⎢⎥12c+−Gs()Gs()nn⎣⎦84广义匹配滤波器−−tt/2

7、例13设信号为⎧eet−≥0st()=⎨⎩00t<2噪声的功率谱为G()1/(1ω=+ω)，求广义匹配滤波器n的传递函数。11解：将噪声功率谱用拉氏变换表示为Gs()==n21(−ss1+−)(1s)+1−1谱分解为Gsn()=Gsn()=1+s1−s1得白化滤波器Hs()==+1s1+Gs()n111信号的拉氏变换为Ss()=−=1/2+ss1+++(12)(1ss)cS()−se−st0c得匹配滤波器H()se==−st02−Gs()12−s85n6广义匹配滤波器⎧c()tt−0/2匹配滤波器对应的冲激响应为⎪et−∞<≤t0ht()=⎨22⎪⎩0tt

8、>⎩0取物理可实现部分⎧⎪cet()tt−0/20<≤t0ht()