资源描述:
《河北师大点集拓扑第四章教案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章连通性一、教学目的与要求本章要求学生掌握的概念有:连通空间、连通子集、连通分支、道路、道路连通空间、局部连通空间、连续映射保持不变的性质、(有限)可积性质。在本章学生还应该掌握:连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质和判定方法及相关的证明方法、不连通空间的性质、连通性的简单应用。二、教学重点与难点教学重点:连通空间、连通分支、道路连通空间、局部连通空间。教学难点:连通性和局部连通性。三、课时安排与教学方法教学内容(计划/实际)课程类型/课时数教学方法2/2理论/讲授6.1T,T、Hausdorff空间01
2、2/2理论/讲授6.2正则、正规、T、T空间(6.3选讲)346.4完全正则空间、Tychonoff空间1/2理论/讲授6.5分离性公理和子空间、(有限)积空间、商空间2/2理论/讲授6.6可度量化空间1/2理论/讲授四、教学过程§4.1连通空间通过考察实数空间中两个不交子集的关系:它们的并集在什么条件下是一个“整体”,什么条件下是两个“部分”,从而引出定义4.1.1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果()ABBA∩∪∩=()φ则称子集A和B是隔离的.注:此处应说明子集A和B是隔离的的各种等价说法.并推导出以下性质备用.性
3、质1.X中两个无交的闭集是隔离的.性质2.X中两个无交的开集是隔离的.性质3.若C、D分别是隔离子集A、B的子集,则C和D也是隔离的.例:考察平庸空间和离散空间中的两个子集在什么条件下是隔离的?定义4.1.2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=∪AB,则称X是一个不连通空间;否则,则称X是一个连通空间.例:平庸空间都是连通空间,而多于一点的离散空间是不连通空间.考察不连通空间的性质,从而给出不连通空间的几个等价条件.定理4.1.1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价:(1)X是一个不连通空间;(2)X
4、中存在着两个非空的闭子集A和B使得AB∩=φ和A∪=BX成立;(3)X中存在着两个非空的开子集A和B使得AB∩=φ和A∪=BX成立;(4)X中存在着既开又闭的非空真子集.例:有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.定理4.1.2实数空间R是一个连通空间.由定理4.1.2的证明过程可以看出,有必要进一步研究判断给定拓扑空间连通性的方法.定义4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间,则称Y是X的一个连通子集;否则,称Y是X的一个不连通子集.由定义4.1.3可以看出,Y是否为X的一个连通子
5、集,只与子空间Y的拓扑有关.因此,如果Z⊂⊂YX,则Z是Y的连通子集当且仅当Z是X的连通子集.定理4.1.3设Y是拓扑空间X的一个子集,A,BY⊂,则A和B是子空间Y的隔离子集⇔A和B是拓扑空间X的隔离子集.因此,Y是X的一个不连通子集⇔存在X中的两个非空的隔离子集A和B使得YA=∪B.通过直观的几何示意引出并证明定理4.1.4设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A和B使得YAB⊂∪,则或者Y⊂A或者Y⊂B.利用定理4.1.4可以得到定理4.1.5设Y是拓扑空间X的一个连通子集,YZY⊂⊂,则Z也是X的一个连
6、通子集.定理4.1.6设{}Y是一个由拓扑空间X的连通子集构成的集族.如果∩Y≠φ,γγ∈Γγγ∈Γ则∪Y是X的一个连通子集.γ∈Γγ定理4.1.7设Y是拓扑空间X中的一个子集.如果对于任意x,yY∈,存在X中的一个连通子集Y使得x,yYY∈⊂,则Y是X中的一个连通子集.xyxy注:要针对以上定理引入实例帮助学生理解这些定理.定理4.1.8设f:XY→是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射,则f()X是Y的一个连通子集.由此得出在连续映射下保持不变的性质这一概念,进而提出可商性质,并指出在连续映射下保持不变的性质与拓扑不变
7、性质、可商性质的关系.定理4.1.9设X,,,XX"是n个连通空间,则积空间X×X××"X也是连通12n12n空间.由此可引出有限可积性质的概念.注:应通过几何直观向学生解释此定理的证明思路.引导学生思考问题:连通空间的任何一个子空间都是连通空间吗?从而得到可遗传性质的概念.思考:如何利用定理4.1.8和定理4.1.9判断给定拓扑空间的连通性?作业:P1221.3.4.6.8.§4.2连通性的某些简单应用引导学生回忆实数集合R中区间的定义:R的子集E称为一个区间,如果它至少包含两个点,并且如果abEab,,∈<,则有[,]{
8、ab=xRaxb∈≤≤⊂}E.利用上节中的连通性的判断方法与已知结论引导学生判断实数空间R中的9类区间:(−∞+∞,),(,aa+∞),(−∞,),[,a+∞),(−∞,],b(,),[,),(,],[,].abababab的连通性.引导学生研究问题:实数空间中什么样的子集是连通子集?从而