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《河北师大点集拓扑第四章教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章连通性一、教学目的与要求本章要求学生掌握的概念有：连通空间、连通子集、连通分支、道路、道路连通空间、局部连通空间、连续映射保持不变的性质、（有限）可积性质。在本章学生还应该掌握：连通子集、连通分支、局部连通空间、道路连通空间的性质和判定方法及相关的证明方法、不连通空间的性质、连通性的简单应用。二、教学重点与难点教学重点：连通空间、连通分支、道路连通空间、局部连通空间。教学难点：连通性和局部连通性。三、课时安排与教学方法教学内容（计划／实际）课程类型／课时数教学方法2／2理论／讲授6.1T,T、Hausdorff空间01
2、2／2理论／讲授6.2正则、正规、T、T空间(6.3选讲)346.4完全正则空间、Tychonoff空间1／2理论／讲授6.5分离性公理和子空间、（有限）积空间、商空间2／2理论／讲授6.6可度量化空间1／2理论／讲授四、教学过程§4．1连通空间通过考察实数空间中两个不交子集的关系：它们的并集在什么条件下是一个“整体”，什么条件下是两个“部分”，从而引出定义4.1.1设A和B是拓扑空间X中的两个子集．如果()ABBA∩∪∩=()φ则称子集A和B是隔离的．注：此处应说明子集A和B是隔离的的各种等价说法．并推导出以下性质备用．性
3、质1.X中两个无交的闭集是隔离的.性质2.X中两个无交的开集是隔离的．性质3.若C、D分别是隔离子集A、B的子集，则C和D也是隔离的.例：考察平庸空间和离散空间中的两个子集在什么条件下是隔离的？定义4.1.２设X是一个拓扑空间．如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=∪AB，则称X是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间．例：平庸空间都是连通空间，而多于一点的离散空间是不连通空间．考察不连通空间的性质，从而给出不连通空间的几个等价条件．定理4.1.１设X是一个拓扑空间．则下列条件等价：（１）X是一个不连通空间；（２）X
4、中存在着两个非空的闭子集A和B使得AB∩=φ和A∪=BX成立；（３）X中存在着两个非空的开子集A和B使得AB∩=φ和A∪=BX成立；（４）X中存在着既开又闭的非空真子集．例：有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间．定理4.1.２实数空间R是一个连通空间．由定理4.1.２的证明过程可以看出，有必要进一步研究判断给定拓扑空间连通性的方法．定义4.1.３设Y是拓扑空间X的一个子集．如果Y作为X的子空间是一个连通空间，则称Y是X的一个连通子集；否则，称Y是X的一个不连通子集．由定义4.1.３可以看出，Y是否为X的一个连通子
5、集，只与子空间Y的拓扑有关．因此，如果Z⊂⊂YX，则Z是Y的连通子集当且仅当Z是X的连通子集．定理4.1.３设Y是拓扑空间X的一个子集，A,BY⊂，则A和B是子空间Y的隔离子集⇔A和B是拓扑空间X的隔离子集．因此，Y是X的一个不连通子集⇔存在X中的两个非空的隔离子集A和B使得YA=∪B．通过直观的几何示意引出并证明定理4.1.４设Y是拓扑空间X中的一个连通子集．如果X中有隔离子集A和B使得YAB⊂∪，则或者Y⊂A或者Y⊂B．利用定理4.1.4可以得到定理4.1.５设Y是拓扑空间X的一个连通子集，YZY⊂⊂，则Z也是X的一个连
6、通子集．定理4.1.６设{}Y是一个由拓扑空间X的连通子集构成的集族．如果∩Y≠φ，γγ∈Γγγ∈Γ则∪Y是X的一个连通子集．γ∈Γγ定理4.1.７设Y是拓扑空间X中的一个子集．如果对于任意x,yY∈，存在X中的一个连通子集Y使得x,yYY∈⊂，则Y是X中的一个连通子集．xyxy注：要针对以上定理引入实例帮助学生理解这些定理.定理4.1.８设f:XY→是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，则f()X是Y的一个连通子集．由此得出在连续映射下保持不变的性质这一概念，进而提出可商性质，并指出在连续映射下保持不变的性质与拓扑不变
7、性质、可商性质的关系．定理4.1.９设X,,,XX"是n个连通空间，则积空间X×X××"X也是连通12n12n空间．由此可引出有限可积性质的概念．注：应通过几何直观向学生解释此定理的证明思路．引导学生思考问题：连通空间的任何一个子空间都是连通空间吗？从而得到可遗传性质的概念．思考：如何利用定理4.1.８和定理4.1.９判断给定拓扑空间的连通性？作业：P1221．３．４．６．８．§4.2连通性的某些简单应用引导学生回忆实数集合R中区间的定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果abEab,,∈<，则有[,]{
8、ab=xRaxb∈≤≤⊂}E.利用上节中的连通性的判断方法与已知结论引导学生判断实数空间R中的９类区间：(−∞+∞,),(,aa+∞),(−∞,),[,a+∞),(−∞,],b(,),[,),(,],[,].abababab的连通性．引导学生研究问题：实数空间中什么样的子集是连通子集？从而
