河北师大点集拓扑第二章教案

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1、第二章拓扑空间与连续映射一、教学目的与要求本章是点集拓扑学的基础知识，在本章中建立了点集拓扑学许多最基本的概念，为学习点集拓扑学的核心内容打下基础。本章应掌握的概念有：度量空间、开集、邻域、拓扑空间、映射在一点连续、连续映射、度量诱导的拓扑、可度量化空间、同胚、拓扑不变性质、邻域系、聚点、孤立点、闭集、闭包、内点、内部、边界点、边界、基、子基、邻域基、邻域子基、序列、序列的极限点、收敛、子序列。学生还应该掌握：典型的拓扑和度量空间的例子、开集和邻域的性质、连续映射和同胚映射的性质、（集合的）内部的性质内部和边界和闭包之间关系、连续映射的等价条件（分别用开集、闭集、邻

2、域来描述）、邻域系的性质和判定方法、基的判定法和子集族成为基（或子基）的条件、映射在一点连续的性质和判定法则、拓扑空间和度量空间中序列的性质。二、教学重点与难点教学重点：拓扑空间和连续映射、导集、闭集、闭包、基与子基、拓扑空间中的序列。教学难点：拓扑空间概念的建立、导集概念和基与子基概念的建立等。三、课时安排与教学方法教学内容（计划／实际）课时数课程类型／教学方法2.1,2.24/4理论/讲授2.3,2.44/4理论/讲授2.5,习题课4/4理论/讲授、讨论2.6,2.74/4理论/讲授习题课4/4练习/讲授、讨论四、教学过程在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值

3、域的主要特征抽象出来用以定义度量空间,将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射.然后将两者再度抽象,给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射.随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域,闭包,内部,边界,基和子基,序列等等.2.1度量空间与连续映射首先,我们从在数学分析中学过的连续函数出发,抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1设X是一个集合,ρ:XXR×→.如果对于任何x,,yzX∈,有(1)(正定性)ρ(,)0,xy≥并且ρ(,)0xy=当且仅当x=y;(2)(对称性)ρ(,)xyy=ρ(,)x;(3)(三角不等式)ρ(,)xz≤ρ(,)(,

4、),xy+ρyz则称ρ是集合X的一个度量.如果ρ是集合X的一个度量,则称偶对(,Xρ)是一个度量空间,或称X是一个对于度量ρ而言的度量空间.有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已有交代,不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间.此外对于任意两点,x,,y∈X实数ρ(,)xy称为从点到点的距离.例2.1.1实数空间R.对于实数集合R,定义ρ:R×R→R如下：对于任意x,,yR∈令ρ(,)xy=x−y.容易验证ρ是R的一个度量因此偶对,(,)Rρ是一个度量空间.这个度量空间特别地称为实数空间或直线.这里定义的度量ρ,称为R的通常度量,并且常常略而不提，称为实数

5、空间.n例2.1.2n维欧氏空间R.n对于任意xxxx=(),,,……,yy=∈(),,,yyR,令12nn12n2ρ(,)xy=∑()xii−yi=1nRnρ容易验证ρ是R的一个度量,因此偶对(,)是一个度量空间.这个度量空间RnRnn特别地成为n维欧式空间.这里定义的度量ρ,称为的通常度量,并且称为维欧氏空间.例2.1.3Hilbert空间H.记H为平方收敛的所有实数序列的集合,即∞2Hxxx=={()12,,…xRiZxii∈∈,+;∑<∞}i=1定义ρ:HHR×→如下：对于任意xxx==(),,……,yy(),,y∈H1212令∞2ρ(,)xy=∑()xii

6、−yi=1则偶对(,)Hρ是一个度量空间.这个空间特别地称为Hilbert空间.例2.1.4离散的度量空间.设(,)Xρ是一个度量空间.称(,Xρ)是离散的，或者称ρ是X的一个离散度量，如果对于每一个x∈X,存在一个实数δ>0使得ρ(,)xy>δ对于任何xxyXyx∈≠,.例如我们假定X是一个集合,定义ρ:XXR×→使得对于任何x,,yX∈有ρ(,)0,xy==xy或ρ(,)1,xy=x≠y容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间是离散空间.定义2.1.2设(,Xρ)是一个度量空间，x∈X.对于任意给定的ε>0,集合{}y∈Xρ(,)xy<ε记作Bx(,),ε或

7、Bxε()，称为一个以x为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε−邻域.定理2.1.1度量空间(,)Xρ的球形邻域具有以下基本性质：(1)每一点x∈X至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域;(2)对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者;(3)如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域.定义2.1.3设A是度量空间X的一个子集.如果A中的每一个点有一个球形邻域包含于A(即对于每一个aA∈,存在实数ε>0使得Ba(,)ε⊂A)，则称A是度量空间X中的一个开集