【步步高江苏专用(理)】高数学《大二轮专题作业增分策略》专题七矩阵变换

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1、第2讲矩阵与变换【高考考情解读】本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分．1．矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a11，a12]与列矩阵的乘法规则为[a11，a12]＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为＝.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。说

2、明：矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先TN后TM)的复合变换．一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。2．几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换．3．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，

3、则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝11/11.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组(ad－bc≠0)，若将X＝看成是原先的向量，而将B＝看成是经过系数矩阵A＝(ad－bc≠0)对应变换作用后得到的向量，则可

4、记为矩阵方程AX＝B，＝，则X＝A－1B，其中A－1＝.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。4．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。(2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量．厦礴恳蹒骈時盡继價骚。(3)特征多项式设λ是二阶矩阵A＝

5、的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则A＝λ，即满足二元一次方程组故(*)茕桢广鳓鯡选块网羈泪。由特征向量的定义知α≠0，因此x，y不全为0，此时Dx＝0，Dy＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D＝0，即＝0.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。定义：设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。11/11称为A的特征多项式．(4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0.此时，将λ代入二元一次

6、方程组(*)，就可以得到一组非零解，于是，非預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。零向量即为A的属于λ的一个特征向量.渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。考点一常见矩阵变换的应用例1已知矩阵A＝，B＝.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程．解(1)设M＝，AM＝擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。＝＝，贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。得坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，则M＝＝＝，

7、蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。∴即買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。代入曲线C：x2＋y2＝1，得()2＋()2＝1.綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。∴曲线C′的方程是＋＝1.求曲线经过二阶矩阵变换的方法步骤曲线f(x，y)＝0经过二阶矩阵变换，得曲线g(x，y)＝0，求曲线g(x，y)的一般步骤为：(1)取曲线f(x，y)＝0上的任意一点A(x，y)；(2)A(x，y)通过二阶矩阵变换得A′(x′，y′)；(3)用x表示x′，y表示y′代入f(x，y)＝0，得g(x′，y′)＝0；11/11(4)g(x′，y′)＝0用x代替x′，y代替y′，得g(x，y)＝0，即为

8、所求．(2013·福建)已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A＝