§1.2 复变函数

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1、第一章复数与复变函数§1.2复变函数三、复变函数的极限与连续性（一）极限定义（1）设wfz=()在区域D内有定义，zD∈且zzD+∆∈．若极限．00（2）若f()z在区域D内处处可导，则称f()z在D内可导．注：（1）∆→z0即zzz+∆→的方式是任意的．00（2）f()z在z处可导⇔∀>ε0，∃>δ0，当0

2、

3、<∆

4、→z0从而，f()z在z处可导，且f′()2zz=．又由z的任意性，可得所证．n+nn−1一般地，f()zz=（n∈z）在复平面内处处可导，且()zn′=z．（二）连续性1、定义若lim()fzfz=()，则称函数f()z在点z处连续．00zz→0如果函数f()z在区域D内的每一点处连续，则称函数f()z在D内连续，或称f()z为D内的一个连续函数．注：（1）f()z在点z处连续⇔∀>ε0，∃δ>0，当

5、

6、zz−<δ时，有fzfz()−<()ε；0001（2）记∆=wfzzfz()+∆−()，则f()z在点z处连续⇔lim∆=w0。000∆→z02、性质：定理3函数f()zu

7、xyivxy=+(,)(,)在点zxi=+y处连续的充分必要条件是uxy(,)000与vxy(,)都在点(,)xy处连续。002222例如，因为uxy=+ln()在除原点外的复平面内处处连续，而vxy=−在复平面内处处连续，从而2222f()ln(zx=++−yi)(xy)在复平面内除原点外处处连续。2同理，f()zxi=+y在复平面内处处连续。f()z定理4（1）设f()z、gz()都在z处连续，则f()zgz±()、f()()zgz⋅、（gz()0≠）00gz()在z处也连续；0（2）设ζ=gz()在点z处连续，wf=()ζ在点ζ=gz()处连续，则复合函数000wfgz

8、=[()]在点z处也连续。0注：①有理整函数（即多项式）2nPz()=++++aazaz?az012n在复平面内处处连续；有理分式函数Pz()Rz()=（其中Pz()、Qz()都是多项式）Qz()在复平面内除使分母Qz()0=的点外处处连续。②f()z在曲线C上点z处连续指的是：0lim()fzfz=()，zC∈；0zz→0③在闭曲线C或包括端点在内点曲线段C上连续的函数f()z在曲线C上是有界的，即∃>M0，∀zC∈，有

9、()

10、fzM≤。2例2、证明：argz在原点及负实轴上处处不连续。证：（1）argz在原点处无定义从而不连续。（2）在负实轴上任取一点z，则0当动点z沿上

11、半平面内曲线C（如图所示）趋于z时，argz→π。10而当动点z沿下半平面内曲线C（如图所示）趋于z时，argz→−≠ππ。20故limargz不存在，从而argz在点z处不连续。又由z的任意性知，argz在负实轴上处处不连续。00zz→0综上所述，原命题成立。yzC1argzz0OxargzC2z作业P66－672（1，2）；3（1，3）；48；10（1，2）3