一类非线性人口偏微分模型整体解的存在惟一性

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1、第23卷第4期新疆大学学报(自然科学版)Vol.23,No.42006年11月JournalofXinjiangUniversity(NaturalScienceEdition)Nov.,2006X一类非线性人口偏微分模型整体解的存在惟一性郭俐辉(新疆大学数学学院,新疆乌鲁木齐830046)1摘要:讨论了一类非线性人口偏微分模型整体经典解的存在惟一性,并研究了解的C光滑性和解关于初值的连续依赖性.关键词:非线性人口偏微分模型;整体经典解;压缩映射原理中图分类号:O175.8文献标识码:A文章编号:100022839(2006)0420393205TheGlobalEx

2、istenceandUniquenessofSolutiontotheNonlinearPopulationPDEModelGUOLi2hui(CollegeofMathematicsandSystemsScience,XinjiangUniversity,Urumqi,Xinjiang830046,China)Abstract:Inthispaper,anonlinearpopulationPDEmodelisdiscussed.Withanalyzingthepropertiesofanoperator,theglobalexistenceanduniquenes

3、s,theregularityandthedependenceontheinitialvaluesofthesolutiontothismodelarepresented.Keywords:nonlinearpopulationPDEmodel;globalclassicalsolution;contracting2mappingprinciple.0引言人口发展过程的数学模型是人口发展过程分析预测和定量控制的基础.从长期的观点来看,研究非线性人口发展模型有着重要的意义.本文讨论了如下的非线性偏微分模型:5p(t,r)5p(t,r)+=-L(r)p(t,r)-Mf(N

4、(t))p(t,r)+g(t,r),5t5r(t≥0,0≤r

5、用算子不动点的方法来讨论此模型解的整体存在惟一性,C光滑性并进一步讨论了解关于初值的连续依赖性.首先引入假设:H1)p0(r),y(r),h(r),L(r),g(t,r)在t≥0,0≤r≤rm上为非负一阶连续可微函数;rmH2)在[0,rm]上,当x→rm-0时,∫L(N)dN→∞s.tL(r)→∞;0••H3)f(N(t))满足李普希茨条件,即ûf(N(t))-f(N(t))û≤LûN(t)-N(t)û;r2H4)0阶相容性条件:p0(0)=B∫[h(N)y(N)]p0(N)dN;r1X收稿日期:2005209230作者简介:郭俐辉(19792),男,硕士生.394

6、新疆大学学报(自然科学版)2006年H5)1阶相容性条件:rr22B∫h(N)y(N)pt(0,N)dN+[L(0)+Mf(N(0))]B∫h(N)y(N)p0(N)dN-g(0,0)=-p′0(0)rr11本文的主要结果为:定理1若假设H1)-H5)成立.则对任意给定的T>0,模型(D)存在惟一的正解p(t,r),且此解满足对初值的连续依赖性.以下将逐步证明此定理,将在第2节讨论模型(D)的等价问题(H)的正解的局部存在惟一性,第3节1考虑问题(H)的正解的整体存在惟一性及解关于初值的连续依赖性,在第4节验证解的C光滑性,从而完成定理1的证明.2局部解的存在惟一性用

7、经典特征线法求解(D)可得其等价问题:tp0(r-t)exp[-∫F(s,s+r-t)ds]+0tt∫g(s,s+r-t)exp[-∫F(S,S+r-t)dS]ds,r>t0s(H)p(t,r)=tB(t-r)exp[-∫F(s,s+r-t)ds]+t-rtt∫g(s,s+r-t)exp[-∫F(S,S+r-t)dS]ds,r≤tt-rsr2其中F(t,r)=L(r)+Mf(N(t)),B(t)=B∫y(r)h(r)p(t,r)dr.r1rm111记V=(C([0,T];Lr)m,其中Lr表示Banach空间L(0,rm,R),赋予范数‖p‖L1=û