《高等数学》bi半期测验考试试题解答

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1、西南交通大学2013－2014学年第(一)学期《高等数学》BI期中考试试卷解答一、单项选择题（8个小题，每小题3分，共24分）1．设为连续函数，则【C】（A）（B）（C）（D）解：本题考察的是“根据一个用极限式子表示的函数的连续性求待定系数”。此时要先求出极限（也就是先求出函数表达式），而求极限时要根据待定系数的取值进行讨论。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。因为，又为连续函数，故在处连续，从而，又，，，所以，故应选（C）。2．函数的间断点类型是【B】(A)可去型(B)跳跃型(C)无穷型(D)振荡型解：本题考察的是“判断分段函数在分段点处的连续性，不连续时对应点属于什么

2、类型的间断点”。因为为分段函数，分段点为，即；（1）先判断在处连续处的连续性：因为，，11/11，所以，故在处连续；（2）再判断在处连续处的连续性：因为，，所以，从而是函数的跳跃间断点。从而应选（B）。3．若，则【A】（A）（B）（C）（D）解：本题考察的是“一元函数微分形式的不变性”。，故应选（A）。另解（换元法）：令，由，得，从而，又，所以，故故应选（A）。4．设，则【A】（A）（B）（C）（D）解：本题考察的是“求抽象函数的二阶导数”。因为，则，从而，故应选（A）。5．函数，则在处【D】（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续但不可导（D）可导

3、11/11解：本题考察的是“判断分段函数在分段点处的连续性与可导性”。（1）先判断在处的连续性：因为，，所以，故在处连续。（2）再判断在处的可导性：因为，，所以，故可导。故应选（D）。6．设函数由参数方程所确定，则【A】（A）（B）1(C)(D)解：本题考察的是“求由参数方程所确定的函数的二阶导数”。因为，则，故，所以应选（A）。7．已知在的某个邻域内连续，且，则在处【D】11/11（A）不可导；（B）可导但；（C）取得极大值；（D）取得极小值；解：本题考察的是“判断函数在一点处是否可导？是否取得极值？”因为在的某个邻域内连续，故；又，则；从而；由，得，即，

4、从而排除选项（A）和（B）。因为，则根据函数极限的局部保号性，存在，使得（，且）；又，从而满足（，且），故在处取得极小值。从而应选（D）。8．下列直线哪条是曲线的渐近线？【A】（A）（B）（C）（D）解：本题考察的是“求曲线的渐近线”。根据选项可以看出，只需求曲线的斜渐近线。因为，所以曲线有一条斜渐近线。此时截距，所以，所求斜渐近线为：。故应选（A）。二、填空题（4个小题，每小题4分，共16分）9．；解：本题考察的是“未定式“型”的极限”。11/11方法一：换元后利用等价无穷小代换。方法二：换元后利用洛比达法则。方法三：利用麦克劳林公式。10．过点作曲线的切

5、线，则该切线方程为解：本题考察的是“导数的几何意义：过曲线上一点作曲线的切线，求切线方程（关键是求切线的斜率）”。因为点在曲线上，故所求切线的斜率，11/11而所以，从而所求切线方程为：，即。11．已知一质点的运动规律为，其中表示位移（单位：米），表示时间（单位：秒），则当，时的速度为（）。解：本题考察的是“求隐函数的导数”。所求速度即为。对方程两边同时关于求导（此时是的函数），得，将，代入上式，得，故所求速度为。12．函数在闭区间上满足拉格朗日中值定理的解：本题考察的是“拉格朗日中值定理”。依题意，将函数在闭区间上利用拉格朗日中值定理，得，其中又，，，从而

6、，而，所以。三、解答题（3个小题，每题10分，共30分，要求有必要的解题步骤）11/1113．求极限。解：本题考察的是“未定式型的极限”。方法一：利用等价无穷小代换。方法二：等价无穷小代换和洛比达法则结合使用。注意：在求乘积或商的极限过程中，凡是碰到有无穷小，优先选择等价无穷小代换，这样可以使得求极限的过程变得相对简单。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。14．设当时，方程有且仅有一个根，求的取值范围。解：本题考察的是“利用函数的单调性讨论方程的根”。令，，则；因为当时，方程有且仅有一个根，则当时，（1）若，则，此时方程在显然只有唯一的根。故符合题意。（2）若，则，此时单

7、调递减（）；11/11又，，由零点定理，至少存在一点，使得；又单调递减（），从而是唯一的，此时满足题目要求，即符合题意。（2）若，又，则有唯一根；又，故是函数的极小值点。又在开区间内可导，且极值唯一，故极小值为函数在开区间内的最小值。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。又方程（）有且仅有一个根，故，即（因为）。综上所述，的取值范围是或，即。15．设函数由方程确定，求函数的极值。解：本题考察的是“求隐函数的极值”。对方程两边同时关于求导（此时是的函数），得令，得；又，满足方程，将代入，得；故不成立；将代入，得11/11；故函数的有唯一驻点（此时，）；对方程两边同时关于求导（

8、此时，都是的函数），得，即，将，，代入上式，得，从而