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1、第7卷第6期辽宁工学院学报Vol.7,No.62005年12月JournalofLiaoningInstituteofTechnologyDec.2005①线性代数学习中的几个常见错误及评析112阚永志,张志文,周绍华(1.辽宁工学院数理科学系,辽宁锦州 121001;2.义县高级中学,辽宁义县 121100)摘要:矩阵是线性代数的主要研究对象之一。本文通过几个具体实例列举了学生在学习矩阵理论中常见的几个典型错误,并给出了详细评析,阐述了矩阵运算系统与实数运算系统的不同之处。关键词:矩阵;矩阵运算
2、;交换律中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:100823391(2005)0620124203线性代数是理工科高等院校各专业学生必修的一门重要的基础理论课,也是工学、经济学硕士研究生入学考试的必考科目之一;这门课程具有理论上的抽象性,逻辑推理的严密性和工程应用的广泛性三大特点,学好它将为提高学生的数学素养及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在教学中,我们发现学生在学习线性代数时,由于对基本概念、基本理论的理解不深,以至于在学习中常常会出现下面我们将提到的各种各样错误,这些错误不仅仅只局
3、限于个别人或少数人。因此我们有必要将在线性代数学习中的一些常见的典型错误进行总结、评析,帮助学生正确理解概念,学好线性代数。本文主要列举了学生在学习矩阵理论中常见的几个典型错误,并通过具体实例说明它在线性代数的学习过程中的重要性。301例题1.设B为三阶矩阵,且满足AB=A+2B,又A=030,求矩阵B.-103本题表面上看是关于求解矩阵方程的题型,实际上主要是考查有关矩阵的各种运算的题型。但由于有些学生对关于矩阵运算的基本概念、基本理论理解不深,常常导致犯各种不同的计算错误。在求解过程中,第一步
4、都能做到,也就是由AB=A+2B,可得AB-2B=A.但接下来继续推导,学生往往会出现各种各样的错误。第一种错误:有的学生可能会写出(A-2)B=A,这里的推导学生是按类似于提取公因式的方法,把2B作为2×B,表面上看是没有错误,但上述推导犯了一个实质性的错误,违反了矩阵乘法的运算规律AB+AC=A(B+C).事实上,由于EA=AE=A,所以应把2B看成2EB;同时,在矩阵加法运算中,A-2也是不允许的,也无法运算,因为A与2不一定是同型矩阵。第二种错误:有的学生可能会写出B(A-2E)=A,由于
5、在一般情况下AB≠BA,即矩阵乘法不满足交换律,因而这里的推导同样是违反了上述运算规律。第二步正确的推导:(A-2E)B=A.A在下一步求矩阵B的过程中,第一种错误是盲目地走捷径,迅速地写出B=,这就大错特错了,因A-2E-1为在矩阵的运算中根本没有除法运算;第二种错误是在没有先确定(A-2E)是否存在的情况下,就直接得-1-1出B=(A-2E)A或B=A(A-2E),而后一种写法本身就是一种错误。因为他没有注意到在矩阵方程两端乘上某一矩阵时关于“左乘”和“右乘”的问题。①收稿日期:2005204
6、220作者简介:阚永志(19702),男,辽宁义县人,讲师。©1994-2011ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net2005年(总第38期) 阚永志等:线性代数学习中的几个常见错误及评析125-1第三步正确的推导:先计算A-2E及ûA-2Eû,通过计算ûA-2Eû≠0可确定(A-2E)存在,并通过-113-1逆阵公式A=A或初等变换法,求出(A-2E).û
7、Aû-1-1第四步:在等式(A-2E)B=A的两端同时“左乘”(A-2E),从而得到B=(A-2E)A.最后利用矩阵乘法定义即可计算出矩阵B.下面我们给出本例的正确解法:由AB=A+2B,得AB-2B=A,即(A-2E)B=A.由301200101A-2E=030-020=010,ûA-2Eû=2≠0-103002-10110-1-1-13知(A-2E)存在,则B=(A-2E)A.又(A-2E)=020,从而10110-1-1131(A-2E)=(A-2E)=020ûA-2Eû210110-130
8、120-11故B=020030=030.2101-103102通过对本例的评析,我们可以总结出在进行矩阵运算中需注意的几个问题:1.矩阵的加减法运算只能在同型矩阵之间才能进行;2.在一般情况下,AB≠阵乘法不满足交换律;3.矩阵运算中不存在除法运算;4.在矩阵方程两边乘上某一矩阵时,必须是同时“左乘”或同时“右乘”。我们再看一个类似的例题,从中体会上面所提到的几个注意的问题。11-11333例题2.设A=-111,且A3X(A),其中:A是A的伴随矩阵,E是三阶单位矩阵,求矩21-
