几类图簇的伴随多项式的因式分解及色性分析

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1、万方数据万方数据万方数据万方数据数学报图3妒‘‘1(r，七十m)图4s笨；讥)+l弓I理8设1≤七Sr≤m，1≤￡≤m，则(i)^渺(‘)(r，≈+m))=，限渺(≈，m))+施似(％，m—t))^(只一1)】，(9)(ii)^(讪【m+1’(r，惫+m))=z7陋(妒(七，m))+r九(妒∞一1，"1))】．(10)证明如图3所示，在图妒(‘)(1，≈+m)和妒(‘)∽女+m)中均取边BlK，则由引理2和引理3依次得到^∞‘”(r，＆+m))=z【^似(＆，m))+h忡(≈，m—t))h(B一1)1，(11)^(妒(。’(r，七+

2、m))=。^(妒(‘)一一1，七+m))+z’^(妒(七，m—t))^(R—1)．(12)由(11)和(12)两式，对顶点数r作数学归纳法可证明(9)式成立．当t=m+1时，在图妒(m+1)(1，七+m)和妒(价+1)(r，七+m)中均取边Bl‰+l=Bl^l，同理可证(10)式成立．在(9)式中依次取t=m，1，2，则由上述的约定：^(tff(k，o))=z‘，^(岛)=1，^(尸1)=z以及引理6即得引理9(i)^(妒(m)(r，七+7n))=^(妒(七+r，m))；(Ⅱ)^(妒(1’(r'女+m))=^(妒‘(≈，m，r))；

3、(iii)^(妒(2’(r，≈+m))=^(妒+(女，m一1，r+1))．引理10设r≥2，1≤￡≤m，则(i)h(s冀2Im)+1)=h’一1(妒(七，竹I))【^(妒(t’(1，南+m))+(r一1)m^(妒(七，tn—t))^(最一。)J，(13)嗡．万方数据3期张秉傣几类图簇的伴随多项式的因式分解及色性分析533(i)^(啦：尝。)=h7—1(妒(^，m))陋(妒(”+1’(1，^+m))+(r一1)z^(妒(女一l，m))】．(14)证明(i)在图哪i。)+。和磷肄。】+。中均取边％n。，则由引理2，3依次得到^(硝器m)

4、十1)=^(妒(南，m))【^(∥。’(1，矗十m))+$危(妒(后，m—t))丘(B一1)】，(15)^(s搿j。)+。)=^(妒∞，m))h(s拦1)佧+。)+。)+z^’一1(妒(＆，rn))^(妒佧，m一￡))^(B一。)．(16)由(15)和(16)两式，对于个数r(≥2)作数学归纳法可证明(13)式成立．(ii)在图碟：嚣}。和《2：嚣。中均取边％H。+。=％A。，同理可证(14)式成立．3主要结果及证明3．1因式分解定理1设r≥2，1≤南Stn，l≤￡≤m，则(i)^(蹈Z；。)+1up一1)耳1)=^’一1(妒(^，

5、m))^(妒(‘’p，≈+m))；(17)(ii)^(s：蹴1u(r一1)．吼)=^’一1(1】f．(k，m))^(妒(m+l’(r，k+rn))．(18)证明由引理3，10及(10)式即得^(踹。)+。u(r一1)K1)=z7—1^(s蕞肄。)+。)=z一1矿-1∽(女，m))·z陋(妒(^，m))+r^似(女，m—t))h(B一1)】由此及引理8可推知(17)式成立．同理可证(18)式也成立．由定理1及引理9立即得到推论l设r≥2，1曼≈墨m，则(i)^(蹈嚣Jm)+1up—1)』f1)=h(’一1’(妒@，m))^(妒仕+nm

6、))；(ii)h(s：出m)+lu(r一1)矗。1)=矗(r一1’(妒(南，rn))h(妒+(七，m，r))；(ii)^(硝嚣。l+。u(r一1)髓)=^(’～1’(妒(女，m))^(妒+(^，m一1，r+1))3．2色性分析由定理l及引理3，对于V￡：l茎tSm+l，都有^(蹈肄m)+1up—1)．K1)=^((r一1)妒(凫，m)u妒(‘’(r，七+m))．(19)由定义知(19)式两边的图簇是伴随等价的，显然上述图簇是不同构的，故它们均不是伴随唯一的．于是由引理1即得定理2设r≥2，l≤七兰m，1兰t≤仇+l，则图簇磷2}。)

7、+1u(r～z}蕊黎霸一§l薹；‰、_i匡妻ij；；誊；霪g；鸶以蓬甘蠹蒸藕川茎妻：主磊鬟蔫嚣警一霞。万方数据数学报45卷当t=m，1，2时，由定理2及引理9即得推论2设r三2，1SkSm，贝0(i)图簇蹈：勘)+lu(r一1)虬与一一l冲(k，m)13妒(≈+nm)二者的补图是色等价的，但均不是色唯一的．(ii)图簇磷出。)+lu(r一1)KI与p一1)妒(^，”，)u妒+(≈，m，r)二者的补图是色等价的，但均不是色唯一的．(iii)图簇。S，q4悟2十)m1+lu(r—1)甄与(r—1)妒(惫，m)u妒+(南，m一1，r+1)

8、二者的补图是色等价的，但均不是色唯一的参考文献11BondyJ．A．．MurtyUS．R，GraphTheorywithApplications，Amsterdam：North-Holland，1976．21JoeLMott，Abra