一类求解方程根的改进粒子群优化算法高飞

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1、第52卷第3期武汉大学学报(理学版)Vol.52No.32006年6月J.WuhanUniv.(Nat.Sci.Ed.)June2006,296～300文章编号:167128836(2006)0320296205一类求解方程根的改进粒子群优化算法•高飞,童恒庆(武汉理工大学理学院,湖北武汉430070)摘要:在群集智能研究的新进展粒子群优化算法(PSO)的基础上,从初始种群的产生、目标函数的处理的角度改进PSO,并在分析讨论代数方程根的分布规律基础上,从优化的角度求解复系数方程和超越方程.数值计算表明,改进算法具有不依赖于迭代初值、良好的适应性和较高的精度的特点,是求解代数方程根的一

2、种成功的算法.关键词:根;优化;粒子群优化中图分类号:O24;TP13文献标识码:A[7]换法、圆盘迭代法等等.但是这些算法都存在着一0引言定的局限性:对f(x)有较强的限制要求,如连续、可导,有时甚至要求有高阶导数.而对于一般的超越方20世纪90年代以来,群集智能(SwarmIntelli2[1,2]程,有很多不满足这些条件;对于迭代法、牛顿法存gence)的研究引起了众多学者的极大兴趣,在收敛性和收敛速度的问题,对迭代初值的选取比Eberhart和Kennedy于1995年提出的粒子群优化较敏感,不合适的初始点很容易导致算法收敛失败,(PSO)算法的起源与对鸟类的群集现象有明显的

3、联然而选择一个好的初始点往往是一件非常困难的事[3,4]系.作为一种高效并行优化方法,PSO具有程序情;圆盘迭代法计算很复杂;下山法方法简单,但存简洁、可调参数少等优点;已经得到了众多学者的重在有下降到局部极值的问题.对于超越方程和高次视和研究,用于求解大量非线性、不可微和多峰值优方程等,要寻找近似根,这些方法都存在着较大的局[4]化问题,并已应用于多个科学和工程领域.限;而且所有方法都有一个共同的缺陷:运算量大,求方程的解,既是一个很古老的问题,也是一个不便于直接计算.具有重要实践意义的问题.解决大量的科学和工程设[5,6]计算中遇到的数学问题,常常需要解决高次代1m-1mPm(x

4、)=a0+a1x+⋯+am-1x+x数方程或代数方程的求根问题,有时还需要解决超[6～10]s.t.ai∈C越方程的求根问题.是n次复系数多项式,则称Pm(x)=0为n次代数本文尝试把求解方程根的问题转化为优化问题,方程.[11,12]用均匀设计方法设计群体、偏转目标函数以改善[6,7]定理1方程Pm(x)=0的根x1,⋯,xm∈CPSO的收敛性能;详细探讨了代数方程根的分布规满足律;在此基础上从优化的角度求解复系数方程和超越①‖xi‖≤min{max{‖a0‖,1+‖a1‖,⋯,方程;数值算例进一步说明了本文的主要结果.m-11+‖am-1‖},max{1,∑‖ai‖}};i=01

5、代数方程根的分布②若an=0,则方程有解x=0,从而‖xi‖有下界0;研究复系数方程求根的算法有着重要的理论意1③若an≠0,设q=max{‖ai‖},则义和应用价值,常用的有迭代法、牛顿法、下山法、转‖an‖1≤i≤n-1收稿日期:2005205210•通讯联系人E2mail:tonghq2005@mail.whut.edu.cn基金项目:国家自然科学基金(30570611);科技部技术创新基金(02C26214200218);武汉理工大学校基金(XJJ2004113);UIRT计划资助项目(A156,A157)作者简介:高飞(19762),男,博士生,现从事最优化理论与方法、流体

6、力学等研究.E2mail:gaofei@mail.whut.edu.cn第3期高飞等:一类求解方程根的改进粒子群优化算法2971发性能,虽收敛快,因其种群中所有个体会被同一最‖xi‖有一个下界r=.1+q优解所吸引,所以种群会快速趋同.定理2若p∈Pm只有实单根满足z1zm时,可用牛顿法求得z1,熟,对每一个粒子Xi:把所有粒子按序号排成一圈,[6]z2;至于z2<⋯

7、邻域Ni,从Ni中选出最好的,标记为lbest=Li(t)=(li,1(t),⋯,li,D(t)),Xi(t)的确定代数方程在给定区间上的实根数目,然后用史[4]第d维(1≤d≤D)根据下式变化:笃姆链和二分法将实根分离,而根的分离在实现上Ci,d(k)=rand(0,c3)·[5,6]却是非常复杂的.本文提出的算法就是在当确[li,d(k)-xi,d(k)]定根的模的上下界后,即r1≤‖x‖≤r2,用PSO在(2)vi,d(k+1)=w·vi,d(k)+