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1、第10卷第6期叶其孝:易拉罐的优化设计57数模竞赛3易拉罐的优化设计叶其孝(北京理工大学数学系北京100081)摘要本文讲述了“易拉罐形状和尺寸的最优设计”问题的命题、建模和求解,评述了学生递交的论文中的优缺点,提出了若干建议.关键词易拉罐数学建模约束优化问题AMS(2000)97U60,97C701命题我第一次接触到易拉罐形状和尺寸是看了[1]中的一篇短文“精明的罐装”,我才明白为什么可口可乐易拉罐的“直径”和“高”之比不是很多高等数学(微积分)教材中的例题或习题:直圆柱的体积已知,求使得表面积最小的直径和高之比.这是一个应用导数求极值的很好又简单的问题.其结论
2、是:直径和高之比为10但是我们看到的易拉罐几乎没有这样的.该文说假设易拉罐是直圆柱体,那么只要顶盖的厚度是其余部分的3倍,能够使材料最省的罐内圆柱体部分的直径和高之比为1/2.我对355毫升的可口可乐易拉罐做了粗略的测量,发现大体上就是这样.后来我又了解到在上世纪40年代可口可乐易拉罐的形状和尺寸确实如此.为什么后来又改为现在的样子:大体上是上面是一个直圆台下面是一个直圆柱体组成的容器呢?我自己做了许多计算,发现非常有趣.也觉得这是一个可以融入高等数学(微积分)教学的体现数学建模思想和方法的很好的例子.我就开始编写与之有关的教学单元,并多次在国内外报告,引起听众的
3、兴趣.同时,全国组委会也了解到很多大专的同学反映赛题偏难,主要是要用到的数学很多参赛同学可能没有学过.这就提出了一个很有挑战性的问题:能不能出一些尽可能只用到像微积分那样的数学方法,又能充分体现数学建模思想和方法的赛题呢?我就大胆地命了这道题.全国组委会也觉得可以试一试,并进一步听取人家的反馈意见.2.建模到求解2.1应该了解铝质可口可乐易拉罐的制作过程,大体上是先由一块板材冲压成一个直圆柱的杯子,再利用铝的延性,在加热条件下,把罐的侧边拉到一定的高度(因而变薄了),略为收口,和较厚的同质圆片焊接,内外涂层,灌装、测试等.这对于研究本问题来说,实际上是很重要的.只
4、有少部分队在论文中明确说明了这一点.正如不少论文引用的参考文献[2]中所说的,“随着饮料包装市场竞争的不断加剧,对众多的制罐企业而言,如何在易拉罐生产中最大限度地减少板材厚度,减轻单罐重量,降低生产成本,是企业追求的重要目标.”这当然不是数学,至少不能单靠数学就能解决的问题.但是,在满足各种物理条件下的最薄的铝板已经做出来时,在给定饮料量后,易拉罐不同的形状和尺寸所用材料是不同的,怎样使之最小,数学建模就有用武之地了.这就是本问题要求同学们完成的任务.212测量.虽然有点“事后诸葛亮”,主要的目的是要对各部分的厚度之比有一个大体上的了解,以备以后验证模型之用.绝大
5、部分队,无论是相当精确或是比较粗糙,都做得十分认真,体现了3收稿日期:2007-03-0758高等数学研究2007年11月科学的、实事求是的态度.经我们了解,在美国,这种形状易拉罐各部分(以十分之一英寸为单位)的厚度大致如下:底部厚:8—11,侧壁厚:4,颈部厚:6,顶盖厚:91据说在其他地方生产的易拉罐,3各部分的厚度可以略有变化.另外一点是罐内饮料量(体积)不是355毫升(355cm),大约是3653毫升(365cm),有些队没有注意这点,把罐内饮料量当作355毫升来算是有问题的.2.3把易拉罐近似看成直圆柱体的情形.这时,易拉罐所用的材料(目标函数)为222
6、2SV(r,h)=(π(r+b)-πr)(h+(α+β)b)+αbπr+βbπr(1)其中b是厚度,r,h分别是易拉罐内部的半径和高,αb,βb分别表示顶盖和底部的厚度.约束条件2是罐内体积已知,即V=πrh(2)其中V已知.约束优化问题(1),(2)可以手算解决,得到的结果为r/h=1/2.[3]或者在网上公布的叶其孝的报告都已经有详细的结果,有的队在参考文献中列出了,并作出自己的理解,这是实事求是的良好学风.但是也有的队直接把我在网上的讲稿的有关部分,不管是否与本问题直接有关,图形及Mathematica的语句,甚至连一些并不妥当的内容,都不加分析地拷在他们的
7、论文里,而且在参考文献在中根本不提是从那里来的.这是一种很不好的学风.2.4易拉罐近似地由直圆台和直圆柱体组成.容易验算把2.3中的直圆柱体的上部收收口,就可以减少焊接量,从而节省成本.可以验算所用的材料也比直圆柱形的易拉罐所用的材料少.这说明数学建模的成果是核心的成果,但是在现实中,它往往被大量的制造技术和外观包装所掩盖.为什么会这样是非常值得我们思考的问题.这时易拉罐的颈部可以由过点(0,r),(h,R)的直线段和过点(0,r+b),(h,R+b)的直线段绕轴旋转而得的圆台壳来代替(不过它的厚度小于b为bh,因此目标函数(易拉罐所用材料的体积)可以近似地表为2
8、2h+(R
