电路分析第八章

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1、第八章相量法基础8.1正弦电压和电流8.2正弦量的相量表示8.3基尔霍夫定律的相量形式8.4电路元件伏安特性的相量形式8.1正弦电压和电流1正弦电压和电流2正弦量的三要素3同频率正弦量的相位差4正弦电流、正弦电压的有效值一.正弦电压和电流随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和电流，它们的瞬时值可用时间t的sin函数或cos函数表示，在以后的讨论中，均将它们表为cos函数。给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。ii=

2、Icos(ωt+θ)miu=Ucos(ωt+θ)+-muu二.正弦量的三要素i=Icos(ωt+θ)mi∑振幅ImI是电流i的最大值。m∑角频率ω(ωt+θi)是i的相位（相角）。单位：弧度、度。ω是i的相角随时间变化的速度，称为角频率。单位：弧度/秒，或写作(1/秒)电流i的频率为f(赫兹、周/秒)，周期为T(秒)，有如下关系ω=2πf=2π(1T)∑初相位θiθi是t=0时刻i的相位，称为初相位（初相角）单位：弧度、度。由于cos函数是周期函数，故θ是多值的，一般取iθ≤πiθi的值与计时起点的选择有

3、关。iiωt0ωtθ=00iiθ>0iωt0θ<0i三.同频率正弦量的相位差u=Ucos(ωt+θ),例:mui=Icos(ωt+θ)miu与i的相位差ϕ为：ϕ=(ωt+θ)−(ωt+θ)=θ−θuiui∑同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。∑相位差ϕ的单位：弧度、度。∑相位差ϕ是多值的，一般取ϕ≤π。∑同频率正弦量相位差的几种情况uuωtωtii=0,u与i同相ϕϕ>0,u超前iuuωtωtiiϕ<0,u滞后iϕ=±π,u与i反相ϕ=±π2,u与i正交o例1：已知u1=10sin(314t−120)(

4、V)ou=100cos(314t+30)(V)2求u与u的相位差ϕ。12解：u=10sin(314t−120o)=10cos(314t−210o)1o=10cos(314t+150)(V)oooϕ=150−30=120即u超前u(2/3)π弧度。12o例2：已知u=Umcos(ωt−120)(V)oi=Icos(ωt+120)(A)m求u与i的相位差ϕ。ooo=120o=(−120)−120=−240ϕ解：ϕ即u超前i(2/3)π弧度。四.正弦电压、电流的有效值以电流为例讨论。∑若周期电流i的周期为T，则

5、其有效值I定义为：1T2I=∫i(t)dtT0∑正弦电流i=Icos(ωt+θ)的有效值为：mi1T22I=Icos(ωt+θ)dt∫miT012T1+cos2(ωt+θ)Iim=Idt==0.707Im∫mT022同样可推得正弦电UmU==0.707Um压u的有效值为：2∑有效值的物理意义：i周期电流i通过电阻R，R在一周11期时间T内吸收的电能为RTT22w=iRdt=Ridt1∫1∫100I恒定电流I2通过电阻R，R在T时间2内吸收的电能为R2w=IRT222T21T若有2I2T=∫0i1dt即I2

6、=∫i1dtT0则有w2=w18.2正弦量的相量表示1复数的表示方法2复数的运算3正弦量的相量4相量法的几个引理一.复数的表示方法∑直角坐标形式：A=a+ja(j=−1)12其中a、a均为实数，a是A的实部，a是A的虚部。1212∑向量表示：+ja：复数A的模Aa2θ：复数A的辐角aθ+1有：a1⎧22⎪a=a1+a2⎧a1=acosθ⎨⎨⎪⎩θ=arctg(a2a1)⎩a2=asinθ∑三角函数形式：A=acosθ+jasinθ∑指数形式（极坐标形式）：根据欧拉公式：ejθ=cos+jsinθθ可得：A

7、=aejθ简写作：A＝aθ例1：已知A=−20−j40，求其极坐标形式。解：⎧⎪a=202+402=2000=44.72⎨ooo⎪⎩θ=arctg(−40−20)=−180+63.43=−116.57故A＝44.72-116.57o例2：已知A=13112.6o，求其直角坐标形式。解：oo⎧⎪a1=13cos112.6=−13cos67.4=−5⎨oo⎪⎩a=13sin112.6=13sin67.4=122A=−5+j12二.复数的运算∑取实部、取虚部设A=a+ja12则Re(A)=a1,Im(A)=a2

8、∑加减法运算设A=a+ja,B=b+jb1212则A±B=(a1±b1)+j(a2±b2)+j+jA+B+C-BBA-BAAA-B+1+1CB∑乘除运算设A=a+ja=aejθa,B=b+jb=bejθb1212则A⋅B=(a+ja)⋅(b+jb)=(ab−ab)+j(ab+ab)121211221221Aa+jaab+abab−ab1211222112==+j2222Bb+jbb+bb+b121212或A⋅B=aejθa⋅b