湖南大学数字信号处理课件

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1、第一章离散时间信号与系统第一节离散时间信号1.1典型离散时间信号⎧⎧1,nn=01,=kδδ()nn=−⎨⎨(k)=⎩⎩0,nn≠00,≠k⎧⎧1,nn≥≥01,kun()=−⎨⎨unk()=⎩⎩0,nn<00,

2、x

3、n()

4、==absxn[()]arg[()]xnanglexn[()]xn()cos=ωωnxn,()sin=n001.2序列的周期性若序列x(n)对于所有时间点n存在最小的正整数N，使得：x(n)=x(n+N)，则称x(n)为周期性序列，且其周期为N。正弦(余弦)序列的周期性判断xn()=Asin(nωϕ+)0xnN()s+=Ain[()]snN++=ωϕAin(nωϕω++N)000若Nω=2πk且k为正整数时，x(n)为周期性序列，并且0其周期为：2πkN=ω0若2π/ω为整数时，只要k=1，N=2π/ω就是序列的00周期。例如：x(n)=sin(π/8

5、)n，显然ω=π/8，2π/ω=1600因此x(n)的周期N=16。若2π/ω不是整数而是有理数时，即2π/ω=P/Q且P00与Q互为素数，只要取k=Q，则N=P为序列的周期。例如：x(n)=sin(4π/5)n，显然ω=4π/5，2π/ω=5/2，取00k=2，则x(n)的周期N=5。若2π/ω是无理数，任何k值都不能使N为正整数，0则序列不是周期的。例如：x(n)=sin(1/4)n，ω=1/4，02π/ω=8π是无理数，则x(n)不是周期序列。0[例1-1]判断序列x(n)，y(n)是否为周期序列，若是周期序列，求其周期。5πnxn()=+sin(n1)

6、sin(+−1)86ππ3yn()cos(=n−+1)3sin(n−1)64解：若两个周期序列的周期具有公倍数，则它们的和序列仍是周期序列，且其周期是两个周期序列周期的最小公倍数。若两个序列中有一个是非周期的，则它们的和序列也是非周期的。对于序列x(n)，sin(5πn/8+1)的ω=5π/8，2π/ω=16/511为有理数，因此是周期序列，周期N=16；sin(n/6-1)1的ω=1/6，2π/ω=12π为无理数，因此不是周期的。综22合可得：x(n)不是周期序列。对于序列y(n)，cos(πn/6-1)的ω=π/6，2π/ω=12为整11数，因此是周期序列

7、，周期N=12；而sin(3πn/4-1)的1ω2=3π/4，2π/ω2=8/3为有理数，因此是周期的，周期为N=8。由于周期N，N的具有公倍数为24，综合可212得：y(n)是周期序列，周期为N=24。连续正弦信号抽样得到正弦序列的周期性。xt()=Asin(Ωt+ϕ)0其角频率Ω=2πf，f为频率，周期为T=1/f=2π/Ω。000000对连续信号x(t)以周期(时间间隔)T进行抽样：xn()==xt()Asin(ΩnT+ϕω)=+Asin(nϕ)tnT=001fωπ===ΩΩTT20ω=Ω000ffSs其中Ω为模拟角频率(rad/s)，ω为数字角频率，它

8、是个相对频率，其单位是rad或认为无量纲。2221πππT====0ωπΩTf2TfTT0000上式说明，若2π/ω为整数，则连续信号周期T应为抽00样间隔T的整数倍；若2π/ω为有理数，则T与T是互00为素数的整数。例如：ω=6π/14，则2π/ω=14/3=T/T，14T=3T，0000这说明14个抽样间隔等于3个连续信号的周期。即数字序列的周期大于连续信号的周期。若2π/ω=P/Q，0则P/Q=T/T，PT=QT，这说明P个抽样周期等于连续00信号的Q个周期。[例1-2]连续正弦信号分别为xt()==sin(200)ππtxt()sin(500)t12如

9、果用相同的抽样率对其进行抽样，求最低的抽样频率f，写出抽样后离散信号x(n)，x(n)表示式，这两S12个离散信号的模拟角频率与数字角频率为多少？解：由题意ΩΩ=200ππrads/,=500rads/12根据抽样定理，最低抽样频率为ΩΩ==21000ππrads/f=Ω2=500HzSS2S用此抽样频率对x(t)，x(t)抽样后得到离散信号12xn()=sin(200πππnT)==sin(200nf)sin(0.4n)1SSxn()===sin(500ππnT)sin(500nf)sin(πn)2SS由此可知，x(n)的模拟角频率Ω=200πrad/s，模

10、拟11频率f=100Hz，其数字角频率