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1、维普资讯http://www.cqvip.com常州工业技术学院学报(自然科学版)Vo1.12.No.2JournalofChangzhouIndustrialTechnologyCollegeJun.1999(NaturalScienceEdition)flI/,,/9j①77,(量享力学的De1ta函数L,,ff一)黄乘规d0/一摘要:本文采用非标准分析的方法,对J.D.比约肯和S.D.德雷尔合著的《相对论量子力学》中常用的有关占函数的三个常用公式给以严格的处理。这三个公式依次是:1.在该书108—109页关于跃迁几率的公式(7,7);2.是由在该书122页和142页
2、上关于Compton散射截面计算的公式(7,40)和(7,69)合成的;3.在该书173页上的关于真空极化计算的l,^\式(8,18)。关键词堕三兰非标准分析Deta函数壁垩空Compt。n散射截面、真空极化6凼教1引言作者在[1],Ez]和E3]中曾经在两相和多相微积分中建立过系统的a函数的理论,但和量子力学还结合得不够紧密。现在结合E4]中量子力学中有关的函数的运算用E1],[2]和[3]中非标准分析的方法做一简明的严搭处理。2非标准分析的准备知识参考[1]的第十章,令R代表标准实数集合,M是R上的标准分析。‘R是R的逻辑扩大。M是R上的内的非标准分析。令R一’R,和
3、R.一R,则R:一’R,和依次有R.+。一R和()’M是兄一上的内的非标准分析,等等。我们称M是第一相的微积分,M是第二相的微积分,一M是第三相的微积分,(’)M是第+1相的微积分3两个函数的直接乘积参考[4]的lO8—109页,在其公式(7,7)中有一个a函数,定义为2a(Er_E)一2—sin(T/2)(El-E,)(3—一.=,1)按照[1]的185页的符号,令/3=2"/2是R中正的实无穷大的数,x=FrE,则有△.(,B)一坠(3,2)即()中的3(E一E,)可表示为收犒日期:19981026维普资讯http://www.cqvip.com常州工业技术学院学报(
4、自然科学版)1999年(-E,)一△I(一E,)(3.3)即这时的函数成立表示3(x),)=(3'4)注意△l,)是’肘中的函数。参考E1]的190页,x=O是△l,)的可去奇点,我们有△】(O,)=B(3.5)进一步.我们计算△l,B)的平方△(x,B)-Isi"nBxJ/=△。(o,)△(z,)(3,6)其中)=(3'7)参考Es]的405页的公式3.721,我们有.{SlznXdx=z。(3.8)故△l.)是一个函数。又参考Es]的414页的公式3.741,我们有{竽詈。故△,)是一个函数。注意,公式(3,6)似乎可以抽象地写成()一(O)0)(3,1O)实际上公式
5、(3,lO)不是普遍成立的,它只在(3,6)这一特殊情况下成立。注意NEs]的450页的公式7,我们有Jsin'.Bxdz一宰,B>O(3.】1)II因此可以引进如下的函数枷)一(3'】2】又注意到△2(O,B)一B(3,13)故成立以下公式,B)=号△(o,B)△.(,)(3,14)又似乎可以抽象出一个如下的公式z)一(o)(z)(3,15)(3,15)与(3,10)矛盾.故它们都不是普遍公式。由此得到结论:量子力学中所用到的关于函数的平方的公式(3,6),即E43的公式(7,8)和(7,9)并不是关于函数的平方的普遍公式.而只是计算量子中跃迁几率的公式。2维普资讯ht
6、tp://www.cqvip.com第2期黄乘规量子力学中的Delta函数4高相的函数对低相的函数进行筛取参考[41122页在计算compton散射截面时,先得到公式(7,40)和142页的公式(7,69),它们蕴涵这样的等式』鲁(户,+k一A一)一p~3(p,p一m)dp。b'4(p,+^一一^)一d(+A一]一m)e()(4,1)其中(p,+~户-k)是一个四维a函数,9(po)是单位阶梯函数。例如可以取(0,1,.27:,3)一△】(0,B:)A1(】,Bz)△】(2,B2)△1(a。B2)(4,2)其中B是R。一一R中的一个正数,它比R一R中的任何一个正数都大,称
7、为(3,2)正无穷大,这个四维a函数我们取为第三相一中的。而(4,1)最后的a函数则是第二相’中的一个一维的函数,例如.3(x。)一△(,1)(4,3)其中是(2,1)正无穷大,即为中的正数但比R中的任何正数为大。这时我们研究‘’M的积分..』』dd户户。dd户户dd户户dd户户。△.((户户。。oTP一1,P2一2,Ps一a)占(P;一一一).B2)凸1(户,mot1,B2)△】(户2一2,B2)△l(户3一3,B2)(P:0.一P一P一P;一m。,B)=△(5一.r一卜一,BI)+(3,2)无穷小=3(x一)+(3.2)无
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