常州工业技术学院学报(自然科学版)

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1、维普资讯http://www.cqvip.com常州工业技术学院学报(自然科学版)Vo1．12．No．2JournalofChangzhouIndustrialTechnologyCollegeJun．1999(NaturalScienceEdition)flI／，，／9j①77，(量享力学的De1ta函数L，，ff一)黄乘规d0／一摘要：本文采用非标准分析的方法，对J．D．比约肯和S．D．德雷尔合著的《相对论量子力学》中常用的有关占函数的三个常用公式给以严格的处理。这三个公式依次是：1．在该书108—109页关于跃迁几率的公式(7，7)；2．是由在该书122页和142页

2、上关于Compton散射截面计算的公式(7，40)和(7，69)合成的；3．在该书173页上的关于真空极化计算的l，^＼式(8，18)。关键词堕三兰非标准分析Deta函数壁垩空Compt。n散射截面、真空极化6凼教1引言作者在[1]，Ez]和E3]中曾经在两相和多相微积分中建立过系统的a函数的理论，但和量子力学还结合得不够紧密。现在结合E4]中量子力学中有关的函数的运算用E1]，[2]和[3]中非标准分析的方法做一简明的严搭处理。2非标准分析的准备知识参考[1]的第十章，令R代表标准实数集合，M是R上的标准分析。‘R是R的逻辑扩大。M是R上的内的非标准分析。令R一’R，和

3、R．一R，则R：一’R，和依次有R．+。一R和()’M是兄一上的内的非标准分析，等等。我们称M是第一相的微积分，M是第二相的微积分，一M是第三相的微积分，(’)M是第+1相的微积分3两个函数的直接乘积参考[4]的lO8—109页，在其公式(7，7)中有一个a函数，定义为2a(Er_E)一2—sin(T／2)(El-E,)(3—一．=，1)按照[1]的185页的符号，令／3=2"／2是R中正的实无穷大的数，x=FrE，则有△．(，B)一坠(3，2)即()中的3(E一E，)可表示为收犒日期：19981026维普资讯http://www.cqvip.com常州工业技术学院学报(

4、自然科学版)1999年(-E,)一△I(一E，)(3．3)即这时的函数成立表示3(x)，)=(3'4)注意△l，)是’肘中的函数。参考E1]的190页，x=O是△l，)的可去奇点，我们有△】(O，)=B(3．5)进一步．我们计算△l，B)的平方△(x,B)-Isi"nBxJ／=△。(o，)△(z，)(3，6)其中)=(3'7)参考Es]的405页的公式3．721，我们有．{SlznXdx=z。(3．8)故△l．)是一个函数。又参考Es]的414页的公式3．741，我们有{竽詈。故△，)是一个函数。注意，公式(3，6)似乎可以抽象地写成()一(O)0)(3，1O)实际上公式

5、(3，lO)不是普遍成立的，它只在(3，6)这一特殊情况下成立。注意NEs]的450页的公式7，我们有Jsin'．Bxdz一宰，B>O(3．】1)II因此可以引进如下的函数枷)一(3'】2】又注意到△2(O，B)一B(3，13)故成立以下公式，B)=号△(o，B)△．(，)(3，14)又似乎可以抽象出一个如下的公式z)一(o)(z)(3，15)(3，15)与(3，10)矛盾．故它们都不是普遍公式。由此得到结论：量子力学中所用到的关于函数的平方的公式(3，6)，即E43的公式(7，8)和(7，9)并不是关于函数的平方的普遍公式．而只是计算量子中跃迁几率的公式。2维普资讯ht

6、tp://www.cqvip.com第2期黄乘规量子力学中的Delta函数4高相的函数对低相的函数进行筛取参考[41122页在计算compton散射截面时，先得到公式(7，40)和142页的公式(7，69)，它们蕴涵这样的等式』鲁(户，+k一A一)一p~3(p,p一m)dp。b'4(p，+^一一^)一d(+A一]一m)e()(4，1)其中(p，+～户-k)是一个四维a函数，9(po)是单位阶梯函数。例如可以取(0，1，．27：，3)一△】(0，B：)A1(】，Bz)△】(2，B2)△1(a。B2)(4，2)其中B是R。一一R中的一个正数，它比R一R中的任何一个正数都大，称

7、为(3，2)正无穷大，这个四维a函数我们取为第三相一中的。而(4，1)最后的a函数则是第二相’中的一个一维的函数，例如．3(x。)一△(，1)(4，3)其中是(2，1)正无穷大，即为中的正数但比R中的任何正数为大。这时我们研究‘’M的积分．．』』dd户户。dd户户dd户户dd户户。△．((户户。。oTP一1，P2一2，Ps一a)占(P；一一一)．B2)凸1(户，mot1，B2)△】(户2一2，B2)△l(户3一3，B2)(P：0．一P一P一P；一m。，B)=△(5一．r一卜一，BI)+(3，2)无穷小=3(x一)+(3．2)无