高中数学公式大全 数学公式

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高中数学常用公式及常用结论1.元素与集合的关系x∈A⇔∉xCA,xCA∈⇔∉xA.UU2.德摩根公式C(A∩B)=CACBC∪;(A∪B)=CACB∩.UUUUUU3.包含关系AB∩=A⇔AB∪=B⇔A⊆B⇔CB⊆CAUU⇔ACB∩=Φ⇔CA∪B=RUU4.容斥原理cardA(∪B)=cardAcardBcardA+−(∩B)cardABC(∪∪)=cardAcardBcardCcardAB++−(∩)−cardA(∩B)−cardB(∩C)−cardC(∩A)+cardA(∩B∩C).nnn5．集合{,aa,⋯,a}的子集个数共有2个；真子集有2–1个；非空子集有2–112nn个；非空的真子集有2–2个.6.二次函数的解析式的三种形式2(1)一般式fx()=ax+bxca+(≠0);2(2)顶点式fx()=axh(−)+ka(≠0);(3)零点式fx()=axx(−)(xx−)(a≠0).127.解连不等式N022M−fx()11⇔>.fx()−NM−N8.方程f(x)=0在(k,k)上有且只有一个实根,与f(k)f(k)<0不等价,前者是后12122者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程ax+bx+c=0(a≠0)有且只有一个实根在bk+k12(k,k)内,等价于f(k)f(k)<0,或f(k)=0且k<−<,或f(k)=0且12121122a2k1+k2b<−0时，若x=−∈[p,q]，则2abfx()=f(−),()fx={fpfq(),()}；minmaxmax2abx=−∉[p,q]，fx()={fpfq(),()}，fx()={fpfq(),()}.maxmaxminmin2a b(2)当a<0时，若x=−∈[p,q]，则fx()=min{fpfq(),()}，若min2abx=−∉[p,q]，则fx()=max{fpfq(),()}，fx()=min{fpfq(),()}.maxmin2a10.一元二次方程的实根分布依据：若fmfn()()<0，则方程f(x)=0在区间(,)mn内至少有一个实根.设f(x)=x+px+q，则22⎧p−4q≥0⎪（1）方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为f(m)=0或⎨p；⎪−>m⎩2⎧fm()>0⎪fn()>0⎪⎪（2）方程f(x)=0在区间(,)mn内有根的充要条件为fmfn()()<0或⎨p2−4q≥0⎪⎪m<−p0⎩afm()>02⎧p−4q≥0⎪（3）方程f(x)=0在区间(−∞,)n内有根的充要条件为fm()<0或⎨p.⎪−0恒成立的充要条件是⎨b≥0或⎨.2⎪⎩b−4ac<0⎩c>012.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n−1）个小于不小于至多有n个至少有（n+1）个对所有x，存在某x，成立不成立p或q¬p且¬q对任何x，存在某x， 不成立成立p且q¬p或¬q14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若p⇒q，则p是q充分条件.（2）必要条件：若q⇒p，则p是q必要条件.（3）充要条件：若p⇒q，且q⇒p，则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设x⋅x∈[a,b],x≠x那么1212f(x)−f(x)(x−x)[fx()−fx()]>0⇔12>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数；1212x−x12f(x)−f(x)12(x−x)[fx()−fx()]<⇔0<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.1212x−x12(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)+g(x)也是减函数;如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=f[g(x)]是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数y=f(x)是偶函数，则f(x+a)=f(−x−a)；若函数y=f(x+a)是偶函数，则f(x+a)=f(−x+a).20.对于函数y=f(x)(x∈R),f(x+a)=f(b−x)恒成立,则函数f(x)的对称轴a+ba+b是函数x=;两个函数y=f(x+a)与y=f(b−x)的图象关于直线x=对称.22a21.若f(x)=−f(−x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(,0)对称;若2f(x)=−f(x+a),则函数y=f(x)为周期为2a的周期函数.nn−122．多项式函数Px()=ax+ax+⋯+a的奇偶性nn−10多项式函数Px()是奇函数⇔Px()的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数Px()是偶函数⇔Px()的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数y=fx()的图象的对称性 (1)函数y=fx()的图象关于直线x=a对称⇔fax(+)=fax(−)⇔f(2a−x)=fx().ab+(2)函数y=fx()的图象关于直线x=对称⇔famx(+)=fbmx(−)2⇔fabmx(+−)=fmx().24.两个函数图象的对称性(1)函数y=fx()与函数y=f(−x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.ab+(2)函数y=fmxa(−)与函数y=fbmx(−)的图象关于直线x=对称.2m−1(3)函数y=f(x)和y=f(x)的图象关于直线y=x对称.25.若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f(x−a)+b的图象；若将曲线f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x−a,y−b)=0的图象.26．互为反函数的两个函数的关系−1f(a)=b⇔f(b)=a.1−127.若函数y=f(kx+b)存在反函数,则其反函数为y=[f(x)−b],并不是k−1−11y=[f(kx+b),而函数y=[f(kx+b)是y=[f(x)−b]的反函数.k28.几个常见的函数方程(1)正比例函数fx()=cx,fx(+y)=fx()+fyf(),(1)=c.x(2)指数函数fx()=a,fx(+y)=fxfyf()(),(1)=a≠0.(3)对数函数fx()=logx,fxy()=fx()+fyfa(),()1(=a>0,a≠1).aα'(4)幂函数fx()=x,fxy()=fxfyf()(),(1)=α.(5)余弦函数fx()=cosx,正弦函数gx()=sinx，fxy(−)=fxfy()()+gxgy()()，gx()f(0)1,lim==1.x→0x29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a；（2）f(x)=f(x+a)=0，1或f(x+a)=(f(x)≠0)，f(x)1或fxa(+)=−(()0)fx≠,fx()12或+fx()−f()x=fxa(+),(()fx∈[0,1)],则f(x)的周期T=2a；21(3)f(x)=1−(f(x)≠0)，则f(x)的周期T=3a；f(x+a)f(x)+f(x)12(4)f(x+x)=且fa()1(()=fx⋅fx()1,0|≠0,,mn∈N，且n>1）.nmam−1(2)an=（a>0,,mn∈N∗，且n>1）.man31．根式的性质nn（1）(a)=a.nn（2）当n为奇数时，a=a；⎧aa,≥0nn当n为偶数时，a=||a=⎨.⎩−aa,<032．有理指数幂的运算性质rsrs+(1)aa⋅=a(a>0,,rs∈Q).rsrs(2)(a)=a(a>0,,rs∈Q).rrr(3)(ab)=aba(>0,b>0,r∈Q).注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式blogaN=b⇔a=N(a>0,a≠1,N>0).34.对数的换底公式logNmlogN=(a>0,且a≠1,m>0,且m≠1,N>0).alogamnn推论logamb=logab(a>0,且a>1,mn,>0,且m≠1,n≠1,N>0).m35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log(MN)=logM+logN;aaaM(2)log=logM−logN;aaaNn(3)logM=nlogMn(∈R).aa2236.设函数f(x)=log(ax+bx+c)(a≠0),记∆=b−4ac.若f(x)的定义域为mR,则a>0，且∆<0;若f(x)的值域为R,则a>0，且∆≥0.对于a=0的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广1若a>0,b>0,x>0,x≠,则函数y=log(bx)axa11(1)当a>b时,在(0,)和(,+∞)上y=log(bx)为增函数.axaa11，(2)当am>1，p>0，a>0，且a≠1，则 （1）log(n+p)aa(||1)≤⇔∈x(2kπ+arcsin,2akππ+−arcsin),ak∈Z.sinxaa(||1)≤⇔∈x(2kπ−arccos,2akπ+arccos),ak∈Z.cosxaa(∈R)⇒∈x(kπ+arctan,akπ+),k∈Z.2πtanx0,b>0,c>0).（4）柯西不等式22222(a+b)(c+d)≥(acbd+),,,,abcd∈R.（5）a−b≤a+b≤a+b.72.极值定理已知x,y都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当x=y时和x+y有最小值2p；12（2）若和x+y是定值s，则当x=y时积xy有最大值s.422推广已知x,y∈R，则有(x+y)=(x−y)+2xy（1）若积xy是定值,则当|x−y|最大时,|x+y|最大；当|x−y|最小时,|x+y|最小.（2）若和|x+y|是定值,则当|x−y|最大时,|xy|最小；当|x−y|最小时,|xy|最大.2273.一元二次不等式ax+bxc+>0(或<0)(a≠0,∆=b−4ac>0)，如果a与22ax+bxc+同号，则其解集在两根之外；如果a与ax+bxc+异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.xx⇔(xx−)(xx−)>0(x0时，有 22xa⇔x>a⇔x>a或x<−a.75.无理不等式⎧fx()≥0⎪（1）fx()>gx()⇔⎨gx()≥0.⎪⎩fx()>gx()⎧fx()≥0⎪⎧fx()≥0（2）fx()>gx()⇔⎨gx()≥0或⎨.⎩gx()<0⎪2⎩fx()[()]>gx⎧fx()≥0⎪（3）fx()0.⎪2⎩fx()[()]1时,fx()gx()a>a⇔fx()>gx();⎧fx()>0⎪logfx()>loggx()⇔⎨gx()>0.aa⎪⎩fx()>gx()(2)当0a⇔fx()0⎪logfx()>loggx()⇔⎨gx()>0aa⎪⎩fx()0或<0所表示的平面区域设直线lAx:+ByC+=0，则AxByC++>0或<0所表示的平面区域是：若B≠0，当B与AxByC++同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC++异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若B=0，当A与AxByC++同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC++异号时，表示直线l的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.85.(AxByC++)(AxByC++)>0或<0所表示的平面区域111222 设曲线C:(AxByC++)(AxByC++)=0（AABB≠0），则1112221212(AxByC++)(AxByC++)>0或<0所表示的平面区域是：111222(AxByC++)(AxByC++)>0所表示的平面区域上下两部分；111222(AxByC++)(AxByC++)<0所表示的平面区域上下两部分.11122286.圆的四种方程222（1）圆的标准方程(xa−)+(yb−)=r.2222（2）圆的一般方程x+y+DxEy++F=0(D+E−4F＞0).⎧x=+arcosθ（3）圆的参数方程⎨.⎩y=+brsinθ（4）圆的直径式方程(xx−)(xx−)(+y−y)(y−y)=0(圆的直径的端点是1212Axy(,)、Bxy(,)).112287.圆系方程(1)过点Axy(,),Bxy(,)的圆系方程是1122(xx−)(xx−)(+y−y)(y−y)+λ[(xx−)(y−y)(−y−y)(x−x)]=01212112112⇔(xx−)(xx−)(+y−y)(y−y)+λ(axbyc++)=0,其中axbyc++=0是直线1212AB的方程,λ是待定的系数．22(2)过直线l:AxByC++=0与圆C:x+y+DxEy++F=0的交点的圆系方程22是x+y+DxEy++F+λ(AxByC++)=0,λ是待定的系数．2222(3)过圆C:x+y+DxEy++F=0与圆C:x+y+DxEyF++=0的交111122222222点的圆系方程是x+y+DxEy++F+λ(x+y+DxEy++F)=0,λ是待定的111222系数．88.点与圆的位置关系222点Pxy(,)与圆(x−a)+(y−b)=r的位置关系有三种0022若d=(a−x)+(b−y)，则00d>⇔r点P在圆外;d=⇔r点P在圆上;d<⇔r点P在圆内.89.直线与圆的位置关系222直线Ax+By+C=0与圆(x−a)+(y−b)=r的位置关系有三种:d>r⇔相离⇔∆<0;d=r⇔相切⇔∆=0;d0.Aa+Bb+C其中d=.22A+B90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，OO=d12d>r+r⇔外离⇔4条公切线;12d=r+r⇔外切⇔3条公切线;12r−r>b0)的参数方程是⎨.22ab⎩y=bsinθ22xy93.椭圆+=1(a>>b0)焦半径公式22ab22aaPF=e(x+)，PF=e(−x).12cc94．椭圆的的内外部2222xyxy00（1）点Pxy(,)在椭圆+=1(a>>b0)的内部⇔+<1.002222abab2222xyxy00（2）点Pxy(,)在椭圆+=1(a>>b0)的外部⇔+>1.002222abab95.椭圆的切线方程22xyxxyy00(1)椭圆+=1(a>>b0)上一点Pxy(,)处的切线方程是+=1.220022abab22xy（2）过椭圆+=1(a>>b0)外一点Pxy(,)所引两条切线的切点弦方程是2200abxxyy00+=1.22ab22xy（3）椭圆+=1(a>>b0)与直线AxByC++=0相切的条件是22ab22222Aa+Bb=c.22xy96.双曲线−=1(a>0,b>0)的焦半径公式22ab22aaPF=|(ex+)|，PF=|(e−x)|.12cc97.双曲线的内外部2222xyxy00(1)点Pxy(,)在双曲线−=1(a>0,b>0)的内部⇔−>1.002222abab 2222xyxy00(2)点Pxy(,)在双曲线−=1(a>0,b>0)的外部⇔−<1.002222abab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系2222xyxyb(1）若双曲线方程为−=1⇒渐近线方程：−=⇔0y=±x.2222ababa22bxyxy(2)若渐近线方程为y=±x⇔±=0⇒双曲线可设为−=λ.22aabab2222xyxy(3)若双曲线与−=1有公共渐近线，可设为−=λ（λ>0，焦点在x2222abab轴上，λ<0，焦点在y轴上）.99.双曲线的切线方程22xyxxyy00(1)双曲线−=1(a>0,b>0)上一点Pxy(,)处的切线方程是−=1.220022abab22xy（2）过双曲线−=1(a>0,b>0)外一点Pxy(,)所引两条切线的切点弦方程是2200abxxyy00−=1.22ab22xy（3）双曲线−=1(a>0,b>0)与直线AxByC++=0相切的条件是22ab22222Aa−Bb=c.2100.抛物线y=2px的焦半径公式2p抛物线y=2pxp(>0)焦半径CF=x+.02pp过焦点弦长CD=x++x+=x+x+p.12122222y�2101.抛物线y=2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt,2pt)或P(,xy)，其中���2p2y=2px.��22b24acb−102.二次函数y=ax+bxc+=ax(+)+(a≠0)的图象是抛物线：（1）顶2a4a22b4acb−b4acb−+1点坐标为(−,)；（2）焦点的坐标为(−,)；（3）准线方程是2a4a2a4a24acb−−1y=.4a103.抛物线的内外部22(1)点Pxy(,)在抛物线y=2pxp(>0)的内部⇔y<2pxp(>0).0022点Pxy(,)在抛物线y=2pxp(>0)的外部⇔y>2pxp(>0).0022(2)点Pxy(,)在抛物线y=−2pxp(>0)的内部⇔y<−2pxp(>0).0022点Pxy(,)在抛物线y=−2pxp(>0)的外部⇔y>−2pxp(>0).0022(3)点Pxy(,)在抛物线x=2pyp(>0)的内部⇔x<2pyp(>0).0022点Pxy(,)在抛物线x=2pyp(>0)的外部⇔x>2pyp(>0).00 22(4)点Pxy(,)在抛物线x=2pyp(>0)的内部⇔x<2pyp(>0).0022点Pxy(,)在抛物线x=−2pyp(>0)的外部⇔x>−2pyp(>0).00104.抛物线的切线方程2(1)抛物线y=2px上一点Pxy(,)处的切线方程是yy=px(+x).00002（2）过抛物线y=2px外一点Pxy(,)所引两条切线的切点弦方程是yy=pxx(+).000022（3）抛物线y=2pxp(>0)与直线AxByC++=0相切的条件是pB=2AC.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线fxy(,)=0,fxy(,)=0的交点的曲线系方程是12fxy(,)+λfxy(,)0=(λ为参数).1222xy22(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程+=1,其中kmin{,ab}时,表示椭圆;当min{,ab}0,α为直线⎩F(x,y)=0AB的倾斜角，k为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线Fxy(,)=0关于点Pxy(,)成中心对称的曲线是F(2-,2xxy−y)=0.0000（2）曲线Fxy(,)=0关于直线AxByC++=0成轴对称的曲线是2(AAxByC++)2(BAxByC++)Fx(−,y−)=0.2222A+BA+B108.“四线”一方程222对于一般的二次曲线Ax+BxyCy++DxEy++F=0，用xx代x，用yy代002xy0+xy0x0+xy0+yy，用代xy，用代x，用代y即得方程222xy+xyx+xy+y0000AxxB+⋅+Cyy+D⋅+E⋅+F=0，曲线的切线，切点弦，中点00222弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b⇔存在实数λ使a=λb．��������������������PAB、、三点共线⇔APAB||⇔AP=tAB⇔OP=(1−tOAtOB)+.����������������ABCD||⇔AB、CD共线且ABCD、不共线⇔ABtCD=且ABCD、不共线.118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的⇔存在实数对xy,,使p=axby+．������������推论空间一点P位于平面MAB内的⇔存在有序实数对xy,,使MP=xMA+yMB，�����������������或对空间任一定点O，有序实数对xy,，使OP=OM+xMA+yMB.119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足����������������OP=xOA+yOB+zOC（x++=yzk），则当k=1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k≠1时，若O∈平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O∉平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．������������������������AB、、C、D四点共面⇔AD与AB、AC共面⇔AD=xAB+yAC⇔����������������OD=(1−−xyOAxOB)++yOC（O∉平面ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实����������������数x，y，z，使OP=xOA+yOB+zOC.121.射影公式����'已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B'点在l上的射影B，则����''AB=|AB|cos〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐标运算设a＝(,aaa,)，b＝(,,)bbb则123123(1)a＋b＝(a+ba,+ba,+b)；112233 (2)a－b＝(a−ba,−ba,−b)；112233(3)λa＝(λa,λa,λa)(λ∈R)；123(4)a·b＝ab+ab+ab；112233123.设A(,xyz,)，B(,xyz,)，则111222������������AB=OBOA−=(x−xy,−yz,−z).212121124．空间的线线平行或垂直rr设a=(,,)xyz，b=(,xyz,)，则111222⎧x=λxrrrrrr12⎪abP⇔a=λbb(≠0)⇔⎨y=λy；12⎪⎩z=λz12rrrra⊥b⇔ab⋅=0⇔xx+yy+zz=0.121212125.夹角公式设a＝(,aaa,)，b＝(,,)bbb，则123123ab+ab+ab112233cos〈a，b〉=.222222a+a+ab+b+b1231232222222推论(ab+ab+ab)≤(a+a+a)(b+b+b)，此即三维柯西不等式.112233123123126.四面体的对棱所成的角四面体ABCD中,AC与BD所成的角为θ,则2222|(AB+CD)(−BC+DA)|cosθ=.2ACBD⋅127．异面直线所成角rrcosθ=|cosab,|rr|ab⋅||xx+yy+zz|121212=rr=222222||||a⋅bx+y+z⋅x+y+z111222rroo（其中θ（0<θ≤90）为异面直线ab,所成角，ab,分别表示异面直线ab,的方向向量）128.直线AB与平面所成角������ABm⋅��β=arcsin������(m为平面α的法向量).|ABm|||129.若∆ABC所在平面若β与过若AB的平面α成的角θ,另两边AC,BC与平面α成的角分别是θ、θ,AB、为∆ABC的两个内角，则1222222sinθ+sinθ=(sinA+sinB)sinθ.12�特别地,当∠ACB=90时,有222sinθ+sinθ=sinθ.12130.若∆ABC所在平面若β与过若AB的平面α成的角θ,另两边AC,BC与平面α''成的角分别是θ、θ,A、B为∆ABO的两个内角，则12222'2'2tanθ+tanθ=(sinA+sinB)tanθ.12�特别地,当∠AOB=90时,有 222sinθ+sinθ=sinθ.12131.二面角α−−lβ的平面角������mn⋅mn⋅���θ=arccos���或π−arccos���（m，n为平面α，β的法向量）.|mn||||mn|||132.三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为θ，AB与1AC所成的角为θ，AO与AC所成的角为θ．则cosθ=cosθcosθ.212133.三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是θ,θ,与二面122222角的棱所成的角是θ，则有sinϕsinθ=sinθ+sinθ−2sinθsinθcosϕ;1212��|θ−θ|≤ϕ≤180−(θ+θ)(当且仅当θ=90时等号成立).1212134.空间两点间的距离公式若A(,xyz,)，B(,xyz,)，则111222������������222d=|AB|=ABAB⋅=(x−x)+(y−y)+(z−z).AB,212121135.点Q到直线l距离1����22h=(||||)ab−(ab⋅)(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量||a����b=PQ).136.异面直线间的距离�������|CDn⋅|�d=�(ll,是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是ll,上任一点，d1212||n为ll,间的距离).12137.点B到平面α的距离�������|ABn⋅|�d=�（n为平面α的法向量，AB是经过面α的一条斜线，A∈α）.||n138.异面直线上两点距离公式222d=h+m+n∓2mncosθ.��������222'd=h+m+n−2mncosEAAF,.222'd=h+m+n−2mncosϕ（ϕ=E−AA−F）.'(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两'点E、F，AE=m,AF=n,EF=d).139.三个向量和的平方公式����2�2�2������2(abc++)=a+b+c+2ab⋅+2bc⋅+2ca⋅�2�2�2������������=a+b+c+2||||cosa⋅bab,+2||||cosb⋅cbc,+2||||cosc⋅aca,140.长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l、l、l，夹角分123别为θ、θ、θ,则有1232222222222l=l+l+l⇔cosθ+cosθ+cosθ=1⇔sinθ+sinθ+sinθ=2.123123123（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理 'SS=.cosθ'(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S和V,它的直截面的周长和斜棱柱侧斜棱柱面积分别是c和S,则11①S=cl.斜棱柱侧1②V=Sl.斜棱柱1143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)V+F−E=2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F1与棱数E的关系：E=nF；21（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E=mV.2146.球的半径是R，则43其体积V=πR,32其表面积S=4πR．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:66棱长为a的正四面体的内切球的半径为a,外接球的半径为a.124148．柱体、锥体的体积1V=Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.柱体31V=Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.锥体3149.分类计数原理（加法原理）N=m+m+⋯+m.12n150.分步计数原理（乘法原理）N=m×m×⋯×m.12n151.排列数公式 mn！A=n(n−1)⋯(n−m+1)=.(n，m∈N*，且m≤n)．n(n−m)！注:规定0!=1.152.排列恒等式mm−1(1）A=(nm−+1)A;nnmnm（2）A=A;nn−1nm−mm−1（3）A=nA;nn−1nn+1n（4）nA=A−A;nn+1nmmm−1（5）A=A+mA.n+1nn(6)1!22!33!+⋅+⋅+⋯+⋅nn!(=n+1)!1−.153.组合数公式mmAnn(n−1)⋯(n−m+1)n！*C===(n∈N，m∈N，且m≤n).nmA1×2×⋯×mm！⋅(n−m)！m154.组合数的两个性质mn−m(1)C=C;nnmm−1m(2)C+C=C.nnn+10注:规定C=1.n155.组合恒等式mnm−+1m−1（1）C=C;nnmmnm（2）C=C;nn−1nm−mnm−1（3）C=C;nn−1mnrn（4）∑Cn=2;r=0rrrrr+1（5）C+C+C+⋯+C=C.rr+1r+2nn+1012rnn(6)C+C+C+⋯+C+⋯+C=2.nnnnn135024n−1(7)C+C+C+⋯=C+C+C+⋯2.nnnnnn123nn−1(8)C+2C+3C+⋯+nC=n2.nnnnr0r−110rrr(9)CC+CC+⋯+CC=C.mnmnmnm+n021222n2n(10)(C)+(C)+(C)+⋯+(C)=C.nnnn2n156.排列数与组合数的关系mmA=mC！⋅.nn157．单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位” m−1mm−1①某（特）元必在某位有A种；②某（特）元不在某位有A−A（补集思想）n−1nn−11m−1m1m−1=AA（着眼位置）=A+AA（着眼元素）种.n−1n−1n−1m−1n−1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）km−k①定位紧贴：k(k≤m≤n)个元在固定位的排列有AA种.kn−kn−k+1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有AA种.注：此类问题n−k+1k常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（k≤h+1），把它们合在一起来作全排列，k个的一hk组互不能挨近的所有排列数有AA种.hh+1（3）两组元素各相同的插空m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？nAm+1n当n>m+1时，无解；当n≤m+1时，有=C种排法.nm+1An（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为nC.m+n158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配nnnnn(mn)!方法数共有N=C⋅C⋅C⋅⋯⋅C⋅C=.mnmn−nmn−2n2nnm(n!)（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有nnnnnC⋅C⋅C...⋅C⋅C(mn)!mnmn−nmn−2n2nnN==.mm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n+n+⋯+n)个物体分给m个人，物件12m必须被分完，分别得到n，n，…，n件，且n，n，…，n这m个数彼此不相等，则12m12m其分配方法数共有N=Cn1⋅Cn2...Cnm⋅m!=p!m!.pp−n1nmn!n!...n!12m（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n+n+⋯+n)个物体分给m个人，12m物件必须被分完，分别得到n，n，…，n件，且n，n，…，n这m个数中分别有a、b、c、…12m12mCn1⋅Cn2...Cnm⋅m!pp−n1nmpm!!个相等，则其分配方法数有N==.a!b!c!...nn!!...n!(!!!...)abc12m（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n+n+⋯+n)个物体分为任意的n，12m1n，…，n件无记号的m堆，且n，n，…，n这m个数彼此不相等，则其分配方法数2m12mp!有N=.n!n!...n!12m（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n+n+⋯+n)个物体分为任意的n，12m1n，…，n件无记号的m堆，且n，n，…，n这m个数中分别有a、b、c、…个相等，2m12mp!则其分配方法数有N=.n!n!...n!(a!b!c!...)12m（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p=nn++⋯+n）个物体分给甲、乙、丙，……12m等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n件，乙得n件，丙得n件，…时，则无论123n，n，…，n等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有12m n1n2nmp!N=C⋅C...C=.pp−n1nmn!n!...n!12m159．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为111n1fn()=n![−+−⋯+−(1)].2!3!4!n!推广:n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为1234fnm(,)=n!−Cn(−1)!+Cn(−2)!−Cn(−3)!+Cn(−4)!mmmmppmm−⋯+−(1)C(n−p)!+⋯+−(1)C(nm−)!mm1234pmCmCmCmCmpCmmCm=n![1−+−+−⋯+−(1)+⋯+−(1)].1224pmAAAAAAnnnnnn160．不定方程xx++⋯+x=m的解的个数12n∗n−1(1)方程xx++⋯+x=m（nm,∈N）的正整数解有C个.12nm−1∗n−1(2)方程xx++⋯+x=m（nm,∈N）的非负整数解有C个.12nnm+−1∗∗(3)方程xx++⋯+x=m（nm,∈N）满足条件x≥k(k∈N,2≤≤−in1)12nin−1的非负整数解有C个.m+1−(n−2)(k−1)∗∗(4)方程xx++⋯+x=m（nm,∈N）满足条件x≤k(k∈N,2≤≤−in1)12nin−11n−12n−1n−2n−2n−1的正整数解有C−CC+CC−⋯+−(1)CC个.nm+−1n−2mnk+−−2n−2mn+−2k−3n−2m+−1(n−2)k161.二项式定理n0n1n−12n−22rn−rrnn(a+b)=Ca+Cab+Cab+⋯+Cab+⋯+Cb;nnnnn二项展开式的通项公式rn−rrT=Cab(r=0，1，2⋯，n).r+1n162.等可能性事件的概率mPA()=.n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．164.n个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．165.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).166.n个独立事件同时发生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率kknk−Pk()=CP(1−P).nn168.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）P≥0(i=1,2,⋯);i（2）P+P+⋯=1.12169.数学期望Eξ=xP+xP+⋯+xP+⋯1122nn 170.数学期望的性质（1）Ea(ξ+b)=aE()ξ+b.（2）若ξ～Bnp(,),则Eξ=np.k−11(3)若ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=gkp(,)=qp，则Eξ=.p171.方差222Dξ=(x1−Eξ)⋅p1+(x2−Eξ)⋅p2+⋯+(xn−Eξ)⋅pn+⋯172.标准差σξ=Dξ.173.方差的性质2(1)Da(ξ+b)=aDξ；(2）若ξ～Bnp(,)，则Dξ=np(1−p).k−1q(3)若ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=gkp(,)=qp，则Dξ=.2p174.方差与期望的关系22Dξ=Eξ−(Eξ).175.正态分布密度函数2(x−µ)1−2fx()=e26,x∈−∞+∞(,)，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表26π示个体的平均数与标准差.176.标准正态分布密度函数2x1−fx()=e2,x∈−∞+∞(,).26π2177.对于N(,µσ)，取值小于x的概率⎛x−µ⎞Fx()=Φ⎜⎟.⎝σ⎠P(xt)a(1−qn)a11n−1（3）S=lim=（S无穷等比数列{aq}(||1q<)的和）.1n→∞1−q1−q181.函数的极限定理lim()fx=a⇔limfx()=limfx()=a.x→x−+0x→x0x→x0182.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：（1）gx()≤fx()≤hx();（2）lim()gx=a,lim()hx=a（常数）,x→x0x→x0则lim()fx=a.x→x0本定理对于单侧极限和x→∞的情况仍然成立.183.几个常用极限1n（1）lim=0，lima=0（||1a<）；n→∞nn→∞11（2）limx=x，lim=.0x→x0x→x0xx0184.两个重要的极限sinx（1）lim=1；x→0xx⎛1⎞（2）lim1⎜+⎟=e(e=2.718281845…).x→∞⎝x⎠185.函数极限的四则运算法则若lim()fx=a，lim()gx=b，则x→x0x→x0(1)lim⎡⎣fx()±gx()⎤⎦=±ab；x→x0(2)lim⎡⎣fxgx()⋅()⎤⎦=⋅ab;x→x0fx()a(3)lim=(b≠0).x→x0gx()b186.数列极限的四则运算法则若lima=a,limb=b，则nnn→∞n→∞(1)lim(a±b)=±ab；nnn→∞ (2)lim(ab⋅)=⋅ab；nnn→∞aan(3)lim=(b≠0)n→∞bbn(4)lim(ca⋅)=limc⋅lima=⋅ca(c是常数).nnn→∞n→∞n→∞187.f(x)在x处的导数（或变化率或微商）0∆yfx(+∆x)−fx()′=′==00fx()ylimlim.0xx=0∆→x0∆x∆→x0∆x188.瞬时速度∆sst(+∆−t)st()υ=st′()=lim=lim.∆→t0∆t∆→t0∆t189.瞬时加速度∆vvt(+∆−t)vt()a=vt′()=lim=lim.∆→t0∆t∆→t0∆t190.f(x)在(a,b)的导数dydf∆yfx(+∆x)−fx()fx′()=y′===lim=lim.dxdx∆→x0∆x∆→x0∆x191.函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义0函数y=f(x)在点x处的导数是曲线y=f(x)在P(x,f(x))处的切线的斜率000f′(x)，相应的切线方程是y−y=f′(x)(x−x).0000192.几种常见函数的导数(1)C′=0（C为常数）.'n−1(2)()x=nx(n∈Q).n(3)(sinx)′=cosx.(4)(cosx)′=−sinx.1x1e(5)(lnx)′=；(loga)′=log.axxxxxx(6)(e)′=e;(a)′=alna.193.导数的运算法则'''（1）(uv±)=u±v.'''（2）(uv)=uvuv+.''u'uvuv−（3）()=(v≠0).2vv194.复合函数的求导法则''设函数u=ϕ()x在点x处有导数u=ϕ()x，函数y=f(u)在点x处的对应点U处有x'''''导数y=fu()，则复合函数y=f(())ϕx在点x处有导数，且y=yu⋅，或写作uxux'''f(())ϕx=fu()()ϕx.x195.常用的近似计算公式（当x充小时）1n1(1)1+x≈1+x;1+x≈1+x；2nα1(2)(1+x)≈+1ααx(∈R)；≈1−x；1+x x(3)e≈1+x；(4)l(1+x)≈x；n(5)sinx≈x（x为弧度）；(6)tanx≈x（x为弧度）；(7)arctanx≈x（x为弧度）196.判别f(x)是极大（小）值的方法0当函数f(x)在点x处连续时，0（1）如果在x附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)是极大值；00（2）如果在x附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)是极小值.00197.复数的相等abi+=+cdi⇔a=cb,=d.（abcd,,,∈R）198.复数z=+abi的模（或绝对值）22||z=|abi+|=a+b.199.复数的四则运算法则(1)(abi+)(+cdi+)=(ac+)(+bdi+);(2)(abi+)(−cdi+)=(ac−)(+bdi−);(3)(abicdi+)(+)=(acbd−)(+bcadi+);acbd+bcad−(4)(abi+)(÷cdi+)=+icdi(+≠0).2222c+dc+d200.复数的乘法的运算律对于任何zzz,,∈C，有123交换律:zz⋅=z⋅z.1221结合律:(zz⋅)⋅z=z⋅(z⋅z).123123分配律:z⋅(z+z)=zz⋅+zz⋅.1231213201.复平面上的两点间的距离公式22d=|z−z|=(x−x)+(y−y)（z=x+yi，z=x+yi）.122121111222202.向量的垂直����������非零复数z=+abi，z=+cdi对应的向量分别是OZ，OZ，则1212����������z2222OZ⊥OZ⇔zz⋅的实部为零⇔为纯虚数⇔|z+z|=|z|+|z|12121212z1222⇔|z−z|=|z|+|z|⇔|z+z||=z−z|⇔acbd+=0⇔z=λiz(λ为1212121212非零实数).203.实系数一元二次方程的解2实系数一元二次方程ax+bxc+=0，22−±bb−4ac①若∆=b−4ac>0,则x=;1,22a2b②若∆=b−4ac=0,则x=x=−;122a2③若∆=b−4ac<0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭2−±−b(b−4aci)2复数根x=(b−4ac<0).2a