四类易混淆的“对称问题”

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1、中学数学研究2010年第l期四类易混淆的“对称问题”陕西师范大学数学与信息科学学院(710062)白焕马文杰有关函数图像对称的问题是高中数学中的厂(z)=厂(2a一r)对一切z∈R恒成立㈢一类基本而重要的问题，在高考以及各类数学厂(77z+)=厂(一z)(常数，”∈R，且，，十考试中该类问题频繁出现，但通过教学我们发=2a)对一切C--R恒成立㈢⋯；(4)在解题现，有相当一部分学生总是混淆不同类型的对中，经常有学生混淆性质1—1和性质1—2，其称及其具有的基本性质，现作如下分析：实性质l～1是性质1—2在b=0时的特殊情1函数图像自身轴对称形，而性质l一1是

2、偶函数性质的一种等价表示已知函数y=f(，)的定义域为R．形式．性质1—1在直角坐标系中，若等式f(例l若f(z)对一切实数都有f(z+—n)=f(口一)(。为常数，。∈尺)对一切8)=f(一2一)，且,27≥3时f(x)=—7x+∈R恒成立，那么函数y=f()的图像关于直4，求厂()的解析式．线=0对称．解：’．。一切实数，都有厂(．z+8)=厂(一2性质1—2在直角坐标系中，若等式厂(b一z)，由性质l一3知，函数厂()的图像关于+)=f(b—)(6为常数，6∈R)对一切z∈直线：：3对称．而当z<3时，R恒成立，那么函数y：f(-z)的图像关于直线=6

3、对称．一3：7+6>3，．‘．f(z)=(6—32)—7(6一z)+4性质1—3在直角坐标系中，若等式厂(z=2—5z一2．．·．-厂c={三二三二：三喜i；+z)=f(”一z)(常数，∈R)对一切z∈注：抓住已知信息的整体结构特征，灵活准尺恒成立，那么函数y=f()的图像关于直线确地选择相应性质是正确解题的关键．=对称．2函数图像自身中心对称证明：(性质1—3)设A(3c0，yo)是=已知函数Y=f(z)的定义域为R．f(x)的图像上任意一点，则y0=．厂(o)．A点性质2—1在直角坐标系中，若等式f(一-z)+f(z)=0对一切z∈R恒成立，那么关于直线

4、z=对称的点为A1(+一函数=f(x)的图像关于原点对称．xo，yo)．令7，z+z=zo，则z=0～￡．又因为性质2—2在直角坐标系中，若等式f(+)=厂(札一)，所以f(zo)=厂[7z一．f(2a—)+-厂()=2b(常数t'／，b∈R)对一切(xo一)]=f(￡+～o)，从而点Al(+z∈尺恒成立，那么函数=f(z)的图像关于，z—o，yo)在函数y=f()的图像上．所以，函点B(口，对称．数=厂()的图像关于直线=对称．性质2—3在直角坐标系中，若等式，’(“注：(1)性质1—1由偶函数定义易得；(2)一z)+f(b+-z)=c(常数＆，6，cC-

5、R)对一切．27∈R恒成立，那么函数=f()的图像关于在性质l一3中，令T=t一，则可得到点B(，c)对称．厂(+f)=(妄一)．由此可见性质证：(性质2—2)设A(zo，Yo)是y=f(x)2和性质3是等价的；(3)(函数y=厂()的定图像上的任意一点，则Y0=_厂(zo)，A(zo，o)义域为R)，y=f(z)关于直线z=口对称㈢关于点B(n，b)的对称点为A】(2a—0，2b—f((z+x)=f(n—z)对一切3c∈R恒成立∞yo)．’．’f(2a—z)+f()=2b对一切∈R·45·2010年第1期中学数学研究恒成立，．’．f(za—X0)=2b—f

6、(xo)=2b—Y0．例3已知函数f(z)定义在R上，则函‘．．点A1(2a—z0，2b—o)在函数=f(5C)的数Y=，(1+z)与Y=f(1一z)的图像关于直图像上，即函数Y=f(x)的图像关于点B(a，线()对称．b)对称．A．0B．z=1C．：0D．=1注：(1)性质2—1是函数f(x)是奇函数的．解：由性质3—2，知函数：f(1+z)与一种等价表示形式，性质2—1也是性质2—21I1=f(1一z)的图像关于直线z=—=0对在a=0，b=0时的特例；(3)性质2—3的形式称，选A．易化为性质2—2的形式．4两个函数图像之间的中心对称例2设函数f(x)

7、的图像关于点(1，2)对已知函数Y=f(x)的定义域为R．称，且存在反函数厂-1(z)，f(4)=0，则性质4—1在同一坐标系中，函数Y=厂(4)=．——f(x)和函数=一f(一)的图像关于原点对解：。．‘f(x)的图像关于。点(1，2)对称，．。．由称．性质2—2知f(2一z)+f()=4，．‘．取z=4性质4—2在同一坐标系中，函数v=得2—4)+f(4)=4．又‘．’f(4)=0，．。．厂(一2)：f(x)和函数Y=2b—f(za—z)(常数a，bE4．又。．‘f(x)存在反函数，．。．厂(4)=一2．R)的图像关于点B(口，b)对称．3两个函数图像之

8、间的轴对称证明：(性质4—2)设A(．7Co，o)在