2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科

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1、2009学年第二学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）题解（考试时间：120分钟，满分150分）2010.4一．填空题：(本题满分56分，每小题4分)1．设集合，则________2．已知△ABC中，，则__.3．若数列满足：，则前6项的和.63.（用数字作答）4．的展开式中的系数为__________.1605．若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比=_____3.6．函数的反函数为____.7．三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为，则_.8．椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为_______________.

2、9．中，已知，，则的最大值为___解:由正弦定理得:.10．有5只苹果，它们的质量分别为125121127（单位：克）：若该样本的中位数和平均值均为，则该样本的标准差=_____________.（克）（用数字作答）解:,不妨设中位数为a,则b=123则11．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则=__________12．某学生参加一次世博志愿者测试，已知在备选的10道试题中，预计每道题该学生答对的概率为。规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，则该学生仅答对2道题的概率是______________

3、.（用数值表示）.13.已知时，集合有且只有3个整数，则的取值范围是___________.解:显然.14.设表示不超过的最大整数，如.若函数，则的值域为________________.{-1,0}.解:二．选择题：（本题满分16分，每小题4分）15．复数等于--------------------（D）A．B.C.D.16．下列函数中，与函数有相同定义域的是----------------（A）A.B.C.D.17．设P是△ABC所在平面内的一点，，则----------------（　C　）ABCP第17题图A.B.C.D.18．已知为

4、圆的两条互相垂直的弦，交于点，则四边形面积的最大值为-------------------------------------（B）A4B5C6D7解:设直线AC的方程为代入圆得:同理可得:,.即.三．解答题：（本大题共5题，满分78分）19．（本题满分14分）在中，、、是、、的对边，已知,,，求的面积.解：，-----------------------2分------------------6分由正弦定理,----------10分∴---------14分20．（本题满分14分）（如图）已知正方体的棱长均为1，为棱上的点，为棱的中点，异

5、面直线与所成角的大小为，求的值.CDABA1B1C1D1NxyzM解：如图建立空间直角坐标系,则A(1，0，0)，C(0，1，0)，，=(0，，1)，=(1，0，)（其中）-----4分设向量、的夹角为，则，--------------------10分或，无解；-------------12分所以当时，，--------------------14分21．（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第三小题6分）已知函数（1）判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数有且仅有一个不动点，求的值，并求

6、出不动点；（3）若在上恒成立,求的取值范围．解：（1）对任意的-------------1分-----------3分∵∴∴，函数在上单调递增。--------5分（2）解：令，-----------------7分令（负值舍去）----------------9分将代入得-----10分（3）∵∴-------------12分∵∴（等号成立当）----------14分∴的取值范围是------------------16分22．（本题满分16分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）设、为坐标平面上的点，直线（为坐标原点

7、）与抛物线交于点(异于).（1）若对任意，点在抛物线上，试问当为何值时，点在某一圆上，并求出该圆方程；（2）若点在椭圆上，试问：点能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点所在圆方程，设、是圆上两点，且满足，试问：是否存在一个定圆，使直线恒与圆相切.22．解：（1），---------------------------2分代入----------4分当时，点在圆-------------------5分（2）在椭圆上，即可设----------------------------7分又,于是（令）点在双

8、曲线上-----------------------------------------------10分（3）圆的方程为设由-------------------