中学数学交集、并集·典型例题

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1、http://www.caijj.com/交集、并集·典型例题能力素质例1已知M＝{y

2、y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y

3、y＝－x2＋1，x∈R}则M∩N是[]A．{0，1}B．{(0，1)}C．{1}D．以上均不对分析先考虑相关函数的值域．解∵M＝{y

4、y≥1}，N＝{y

5、y≤1}，∴在数轴上易得M∩N＝{1}．选C．2例2已知集合A＝{x

6、x＋mx＋1＝0}，如果A∩R＝∅，则实数m的取值范围是[]A．m＜4B．m＞4C．0＜m＜4D．0≤m＜4分析∵A∩R＝∅，∴A＝∅．2所以x＋Mx＋1＝0无实数根

7、，由⎧⎪m≥0，⎨2⎩⎪Δ＝(m)－4＜0，可得0≤m＜4．答选D．例3设集合A＝{x

8、－5≤x＜1}，B＝{x

9、x≤2}，则A∪B＝[]A．{x

10、－5≤x＜1}B．{x

11、－5≤x≤2}C．{x

12、x＜1}D．{x

13、x≤2}分析画数轴表示⊂得A∪B＝{x

14、x≤2}，A∪B＝B．(注意A≠B，也可以得到A∪B＝B)．答选D．说明：集合运算借助数轴是常用技巧．http://www.caijj.com/http://www.caijj.com/例4集合A＝{(x，y)

15、x＋y＝0}，B＝{(x，y)

16、x－y＝2}，

17、则A∩B＝________．分析A∩B即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合．⎧x＋y＝0，⎧x＝1，解由⎨得⎨⎩x－y＝2⎩y＝－1．所以A∩B＝{(1，－1)}．说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么．例5下列四个推理：①a∈(A∪B)⇒a∈A；②a∈(A∩B)⇒a∈(A∪B)；③A⊆B⇒A∪B＝B；④A∪B＝A⇒A∩B＝B，其中正确的个数为[]A．1B．2C．3D．4分析根据交集、并集的定义，①是错误的推理．答选C．点击思维例6已知全集U＝R，A＝{x

18、－4≤x＜2}，B＝{x

19、－1＜x＝___

20、_____．号的值．解观察数轴得，A∩B＝{x

21、－1＜x＜2}，A∩B∩(UP)＝{x

22、0＜x＜2}．例7设A＝{x∈R

23、f(x)＝0}，B＝{x∈R

24、g(x)＝0}，f(x)C＝{x∈R

25、＝0}，全集U＝R，那么g(x)[]A．C＝A∪(UR)B．C＝A∩(UB)http://www.caijj.com/http://www.caijj.com/C．C＝A∪BD．C＝(UA)∩B分析依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归f(x)C＝{x∈R

26、＝0}g(x)＝{x∈R

27、f(x)＝0且g(x)≠0}＝{x∈

28、R

29、f(x)＝0}∩{x∈R

30、g(x)≠0}＝A∩(UB)．答选B．说明：本题把分式的意义与集合相结合．例8集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素．分析一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．另一种方法，画图1－10观察可得．答填15．例9已知全集U＝{x

31、x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(UB)＝{5，13，23}，(UA)∩B＝{11，

32、19，29}，(UA)∩(UB)＝{3，7}求A，B．分析由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．解∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}用图形表示出A∩(UB)，(UA)∩B及(UA)∩(UB)得U(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，所以A＝{2，5，13，17，23}，B＝{2，11，17，19，29}．http://www.caijj.com/http://www.caijj.com/说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形．学科渗透例10设集

33、合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B．分析欲求A∪B，需根据A∩B＝{9}列出关于x的方程，求出x，从而确定A、B，但若将A、B中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A，再将所得值代入检验．解由9∈A可得x2＝9或2x－1＝9，解得x＝±3或5．当x＝3时，A＝{9，5，－4}，B＝{－2，－2，9}，B中元素违反互异性，故x＝3应舍去；当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8，4，9}，A∩B＝{9}满足题意，此时A∪B＝{－7，

34、－4，－8，4，9}当x＝5时，A＝{25，9，－4}，B＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}，这与A∩B＝{9}矛盾．故x＝5应舍去．从而可得x＝－3，且A∪B＝{－8，－4，4，－7，9}．说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的．例11设A＝{x

35、x2＋4x＝0}，B＝{x

36、x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求a的值．2分析由A∩B＝B，B⊆A，而A＝{x

37、x