概率论与数理统计教程答案(魏宗舒版)

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1、第一章事件与概率习题解答1.1写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。解：(1)记9个合格品分别为正,正，L，正，记不合格为次，则129Ω={(正1，正2，()正1，正3)，L，(正1，正9，()正1，次)，(正2，正3，()正2，正4)，L，(正2，正9，()正2，次)，(正，正)，L，(正，正，()正，次)，L，(正，正，()正，次，()正，次)}343938989A={(正1，次

2、)，(正2，次)，L，(正9，次)}(2)记2个白球分别为ω，ω，3个黑球分别为b，b，b，4个红球分别为，rr，1212312r，r。则Ω={ω，ω，b，b，b，，rr，r，r}34121231234(ⅰ)A={ω，ω}(ⅱ)B={，rr，r，r}1212341.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。(1)叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC=C成立？(3)什么时候关系式C⊂B是正确的？(4)什么时候A=B成立？解：(1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。

3、(2)ABC=C等价于C⊂AB，表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。1.3一个工人生产了n个零件，以事件A表示他生产的第i个零件是合格品i（1≤i≤n）。用A表示下列事件：i(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。nnnnn解：(1)IAi;(2)IAi=UAi;(3)UI[Ai(Aj)];i=1i=1i=1i=11j=j≠in(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为

4、UAiAj；i,j=1i≠j1.4证明下列各式：(1)A∪B=B∪A;(2)A∩B=B∩A(3)(A∪B)∪C=A∪(B∪C);(4)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(5)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)nn(6)IA=UAiii=1i=1证明：（1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。2解：样本点总数为A=8×7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、1

5、1、13中8的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分211数为既约分数”包含A+2A×A=2×3×6个样本点。于是3352×3×69P(A)==。8×7141.6有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。⎛5⎞解：样本点总数为⎜⎜⎟⎟=10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、⎝3⎠5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含33个样本点，于是P(A)=。101.7一个小孩用13个字母A,A

6、,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解：显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含!2!2!2!3个!2!2!2!348样本点。所以P(A)==13!13!1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解：任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9×10−1=89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

7、17P(A)=891.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点7总数为9。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，77A9各有一位乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是P(A)=。9791.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”

8、的概率为多大？449⎛9⎞解：用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)==⎜⎟，所以10000⎝10⎠4