复习题理论力学09-10年解答

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1、理论力学复习题KKK1.根据平面极坐标系速度vr=+irjθ公式，导出平面极坐标系加速度公式。KK解：r=riKKKKdrdKKdrdKdrKKdiK速度：vr==()ivr===()ii+r=ri+ridtdtdtdtdtdtGGdiGGdjKGKGK==θj,−θivr=+=+irjvivjθrθdtdtGGGGdvdrirj()+θ加速度a==dtdtGdGrdGidGG(ir)=i+r=ir+rθjdtdtdtGdGdrGdθGjdGG2G同理(rθj)=θj+rj+rθ=rθj+rθj−rθidtdtdtdtGG

2、Garrirr=−()θ2++(θθ2)jarr=−θ2rarr=+θ2θθkθ2.若质点沿对数螺旋线r=ae运动时，极点为力心。用比内公式求作用于质点上的力与距离的关系。解：由比内公式得=-u====2221F=-m(k+1)=−+mhk(1)3r13.一质量为m的质点，在有阻力的空气中无初速的自离地面为H的地方竖直下落。如阻力与速度的平方成正比，求解质点的运动规律。解：（见教材P40例2）22设：R=mgkυ22mx=−mg+mgkυdυ22xg==−−(1kυ)dtdυ=−gdt221−kυ1υ=−tghgkt()k1x=−hgln

3、cosh(kt)2gkKKKK23232224.证明由F=−++−(6yzxzi)2(xyzj36xyzxzk)定义的场是保守力场，并求其势能函数。K解：由判断保守力条件：∇×F=0∂F∂Fxy22−=−=18abxz18abxz0∂∂yz∂Fx∂Fz22−=−=18abyz18abyz0∂∂zx∂F∂Fyx2323−=−64(abzabxy−64)abz−abxy=0∂∂xy所以，该力是保守力。存在势函数。GGVW=−=−FidrV+=−()FdxF+dyF+dzV+∫∫00xyz2323222=−−++−+(6yzxzdx)2(xyzdy36xyzxzdzV)∫0222

4、23=3xzx−+yzV05.一质量为m，长为l，绕通过杆端点O的铅直轴以角速度转动，杆与转轴间夹角保持恒定。求按图示坐标系杆对O点的惯量张量，以及对O点的角动量。解：对O点惯量张量⎡⎤⎢⎥000KK⎢⎥Im=⎢⎥001l2⎢⎥3⎢⎥12⎢⎥00ml⎣⎦3KKKK1K2JIiIjIkm=++=ωωωlωsinθjxxxyyyzzz36.一质量为m，半径为R，高为h的均匀圆柱体，它绕着过质心偏离其对称轴角度为θ的定轴以角速度ω转动。已知，圆柱绕中心轴线的转动惯量为12I=mR，圆柱对通过质心并垂直于圆柱轴线的轴的转动惯量为2122I=+mh(3R)。求圆柱体转动的动能。12解

5、：圆柱体的动能12T=Iω23求绕定轴的I，建立主轴坐标系0–xyz,三个坐标轴即对称轴。轴转动惯量：I==Im1(3hR22+)121212Im=R32∵I=++IIIα22βγ2123而ππα=cos(−θ)=sinθ,β=cos=0,γ=cosθ221222122∴I=m(h+3R)sinθ+mRcosθ1221212122222∴T=Iω=mω[(h+3R)sinθ+Rcosθ]246D7.质量为m、半径为a的均质圆盘，绕与垂直于盘面的几何轴成θ=45角的轴转动，如图2所示。求：（1）绕该轴的转动惯量。K（2）若圆盘绕轴转动的角速度为ω，求圆盘转动的角动量。解：（1

6、）取盘的对称轴为坐标轴，转轴在OXZ平面内，则12I==ImR12412I=mR32D2D2α=sin45=,β=,0γ=cos45=2222232I=Iα+Iβ+Iγ=mRl1238（2）O点的惯量张量⎡12⎤mR00⎢⎥4⇒⎢1⎥2I=⎢0mR0⎥⎢4⎥⎢12⎥00mR⎢⎣2⎥⎦4→2→2→角速度ω=ωi+ωk22⎡12⎤mR00⎛2⎞⎢4⎥⎜ω⎟→⎛→→→⎞⎢12⎥⎜2⎟22→22→J=⎜ijk⎟⎢0mR0⎥⎜0⎟=mRi+mRk⎝⎠⎢4⎥⎜2⎟84⎢001mR2⎥⎜ω⎟⎢2⎥⎝2⎠⎣⎦转动动能1()222T=Iω+Iω+Iω1x2y3Z212()222=ωIα+Iβ

7、+Iγ123212=Iωl2322=mRω16K8.一圆盘型陀螺，半径为r，绕轴线OC以恒定角速度ω转动，轴线则以1K匀角速度ω绕竖直轴转动。已知陀螺高为h，与铅直线间的倾角为θ，如图12所示。求圆盘最低点B处的速度。解：建立如图坐标系。做BD.CE两垂线→→ω=ωk225→→→ω=ωsinθj+ωcosθk111K→→→→ω合=+=ωωωθωω121sinjk++()21cosθ22BD=OBcos∠OBD=r+hcos∠OBD22()=r+hcosθ+ψ=hcosθ−rsinθOD=OBsin∠OBD=hsin