弹性力学-03new

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1、第三章第三章平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答要点——用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。主要内容§3-1多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-5级数式解答§3-6简支梁受任意横向载荷§3-1多项式解答适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)，能解决什么样的力学问题。——逆解法1.一次多项式（1）(x,y)axbyc其中：a、b、c为待定系数。4444（2）检验φ(x,y)是否满

2、足双调和方程：204224xxyy显然φ(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。（3）对应的应力分量：22x2Xx0XxXxy2Yy0YyYyyx2xy0若体力：X=Y=0，则有：xyxy0xy（1）一次多项式对应于无体力和无应力状态；结论1：（2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.二次多项式22（1）axbxycy其中：a、b、c为待定系数。（2）检验φ(x,y)是否满足双调和方

3、程，显然有444,0,004(可作为应力函数)44220xyxy（3）由式（2-26）计算应力分量：(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)2222c2axybx2y2xyyx2a2c2c结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xbxyy2a例：试求图示板的应力函数。00xx002yy(x,y)y(x,y)xy203.三次多项式3223（1）axbxycxydy其中:a、b、c、d为待定系数。（2）检验φ

4、(x,y)是否满足双调和方程，显然有444,0,00444220(可作为应力函数)xyxy（3）由式（2-26）计算应力分量：(假定：X=Y=0)2222cx6dy2by6ax2bx2cyx2y2xyyxxy结论3：三次多项式对应于线性应力分布。3讨论：取dy,(XY)0可算得：ll6dy00hxyxy图示梁对应的边界条件：Mmin3dh2Mhy:y,0xy0x2xl:6,01max3

5、dhhxdyxyy23可见：dy——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数d与弯矩M的关系：hh22dydy由梁端部的边界条件：(1)hxdy0h6022hh(2)2ydyM22d32Mhxh6dydyMhM(或d3)2h2212MMMx3yx3yxyh(h/12)I可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。ll说明：h(1)组成梁端力偶M的面力须线性M3dh2分布，且中心处为零，结果才minM是精确的。x(2)若按其它形

6、式分布，如：1max3dhh则此结果不精确，有误差；y2但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。6dy00xyxy(3)当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。My4.四次多项式xI432234（1）axbxycxydxyey（2）检验φ(x,y)是否满足双调和方程444424a28c24e代入：0444xxyy得24a8c24e03ac3e0可见，对于函数：432234axbxycxydxyey其待定系数，须

7、满足下述关系才能作为应力函数：3ac3e0（3）应力分量：222x22cx6dxy12eyy2——应力分量为x、y22y22cy6bxy12ax的二次函数。x2223bx4cxy3dyxyxy（4）特例：44axey（须满足：a+e=0）212axy212eyx0xy总结：（多项式应力函数的性质）4（1）多项式次数n<4时，则系数可以任意选取，总可满足0。4多项式次数n≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足0。多项式次数n

8、越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。（3）二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（4）用多项式构造应力函数φ(x,y)的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。问题：按应力求解平面问题，其基本未知量为：,,，下节